Налимов В.В.

DOKTOR.RU: ДЛЯ ВРАЧЕЙ: БИОМЕТРИКА: НАША БИБЛИОТЕКА:

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЗНАНИЕ НАУЧНЫМ В ТОЙ СТЕПЕНИ, В КАКОЙ ОНО МАТЕМАТИЗИТИРОВАНО? Биологический аспект проблемы В. В. Налимов

     В 1986 году исполняется 200 лет с того дня, как прозвучали слова Канта: «... я утверждаю, что в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики».
    Поясняя эту мысль, он пишет: «... чтобы познать возможность определенных вещей, стало быть познать их a priori, требуется еще, чтобы было дано соответствующее понятию априорное созерцание, т. е. чтобы понятие было конструировано. Но познание разумом, основанное на конструировании понятий, есть познание математическое.»¹
   Наука занимается овладением природой.»²: Спектр взаимодействия с природой непрерывно расширяется. Для осмысливания новой реальности всегда нужны новые - преходящие, мысленные конструкты, возникающие где-то в глубинах сознания в результате того не понятого психологией процесса, который, следуя Канту, мы готовы называть априорным созерцанием. Для Канта естественно было связать возникновение конструктов с математикой, ибо «... в ее основании должно лежать какое-то чистое созерцание, в котором она может показать все свои понятия in concrete и тем не менее а рriori или, как говорят, конструировать их»³: .
     Так возник парадокс Канта, вынесенный нами и в заглавие этого эссе. Как раскрывается его смысл теперь - двести спустя?

II      Если мы обратимся к физике, то нам придется признать правомерность кантовского высказывания. Нарастание физических теорий и их углубление происходит через использование всЈ более и более глубоких математических представлений. Это отнюдь не математизация физических знаний, а нечто большее - порождение существенно нового знания через обращение к математике. Это порождение новых идей, исходя из неожиданной предметной интерпретации математических структур, ранее существовавших на уровне чисто абстрактных построений.
     Иначе все выглядит в биологии, психологии, языкознании или социологии. Широким фронтом развивается проникновение математики в биологию. Издаются специальные журналы, выходят книги - только издательство Springer Verlag выпустилио около 60 монографий в серии Математическая биология. Но все математические модели в биологии носят частный характер, они описывают что-то конкретное, находящееся вне широкого биологического контекста. Иные монографии остаются не более чем путеводителями по многообразным моделям. Все это не создает биологической теории. Математика сама по себе не внесла чего-либо существенно нового в понимание природы живого. Она не дала нового подхода к пониманию того, как и почему существуют биологические системы. Подражание физике в математизации биологии часто приводит к удручающему редукционизму, и это хорошо понимают некоторые биологи.»⁴: Во всяком случае, математические модели не сумели оттенить то многообразие живого, которое существенно отличает его от Мира физических явлений. Если, скажем, в Мире физики электроны тождественно неотличимы, то что так же не отличимо в Мире живого? Какой математической идеей может быть охвачена устойчивость системы при, казалось бы, ничем не ограниченной ее изменчивости? И понятно, почему биологи с достаточной осторожностью реагируют на математическую экспансию. Число часов, отводимое на преподавание самой математики, остается по-прежнему весьма ограниченным. Биолог, оканчивающий университет, даже в наши дни, оказывается не готовым к тому, чтобы легко воспринимать все то, что можно было бы назвать современной биоматематикой. Но нужно ли поступать иначе?
А в современной физике можно ли себе представить собственно физическое знание отделенным от его интерпретаций, даваемых в системе математических представлений?
III Вот, что существенно: есть биологическая наука, но нет теоретической биологии. В МГУ нет такой кафедры. Не читается такой курс лекций. Это не значит, конечно, что никто не занимается теорией. Ею занимаются, наверное, на каждой кафедре факультета. Но эти теоретические разработки остаются всегда существенно локальными - они не обладают способностью к объединению в общебиологическую теорию. Некоторые биологи склонны полагать, что теория эволюции и есть теоретическая биология. И, действительно, проблема эволюционизма - его загадочная природа отличает прежде всего Мир живого от Мира физики, где изменением остается движением, не создающим существенно новых форм. Мир неживого закреплен к существованию неизменными фундаментальными постоянными »⁵, он вырисовывается перед нами как некий гигантский, иерархически сложно организованный осциллятор; в отличие от него Мир живого создается - это непрерывно творимый текст, ничем, кажется, не ограниченный в своем творении. Теория эволюции действительно должна была бы стать основой теоретической биологии. Но этого не произошло. Эта - одна из старейших в науке - теория до сих пор остается предметно-описательной, оказываясь погруженной в беспредметность нестихающих дискуссий. Физика нас научила тому, что теория - настоящая содержательная теория - появляется только тогда, когда физическая реальность начинает описываться в системе глубоко абстрактных - символических построений. Только при таком подходе оказывается возможным оторваться от примитивных антропоморфных объяснений и начать теоретизировать, по-настоящему затрагивая природу таких фундаментальных понятий, как время, пространство, причинность, случайность, неопределенность. Разве не естественно предположить, что в Мире живого эти понятия должны получить иную экспликацию, чем в Мире физики? И разве не столь же естественно ввести новые базовые понятия, такие, скажем, как представления о спонтанности и эволюционной ценности? И если мы посмотрим на историю развития эволюционного учения, то найдем много интересных математических построений, направленных на углубление понимания эволюции (Дж. Холдейн, Р. Фишер, С. Райт, Н. Рашевский, Р. Розен, Р. Том, И. Пригожий, М. Эйген), но эти построения не стали фундаментом для теоретической биологии, и, более того, далеко не многие биологи отнеслись к ним с достаточной серьезностью. Эти работы не поднялись до уровня математического теоретизирования в физике. Не было открыто кардинально нового видения биологической реальности. Не породил теоретической биологии и знаменитый (не чуждающийся математики) четырехтомник»⁶: , вышедший под   редакцией Уоддингтона, - это в заключении признает сам его редактор.
         И если мы теперь еще раз вернемся к парадоксу Канта, то должны будем сказать, что в биологии математики много, но нет там такой математики, которая создала бы собственно теоретическое знание о Мире живого. Математика не внесла в науку о живом нового конструктивного начала. IV     Математика в своих практических применениях многолика. Несколько схематизируя, рассмотрим три, как это нам представляется, главных направления в математизации знаний.
    Первое из них - это эмпирико-математическое направление. Математик - модельер строит модель, опираясь, с одной стороны, на предоставленные ему эмпирические данные, с другой стороны - на расплывчатые пояснения исследователя — экспериментатора. Иногда задача выбора модели переходит в руки экспериментатора — за математиками остается только консультационное обеспечение. Математика здесь выступает, скорее всего, просто как некий новый язык, позволяющий компактно и вразумительно представить экспериментальные данные. Напомним, что Р. Фишер, один из создателей современной математической статистики, считал, что ее задача - редукция данных. Компактное представление данных делает их легкообозримыми, и в силу этого модель, с помощью которой достигнута эта редукция, может обрести эвристическую силу. Но при этом подходе сама математика не привносит каких-либо новых идей — она остается только инструментом, раскрывающим то, что заложено в экспериментальных   данных. Это путь аналитический, а не синтетический. Вряд ли можно думать, что такое обращение к математике приведет к построению теоретической биологии.
Правда, и эмпирико-математическое моделирование все же дает какой-то, труднооцениваемый сейчас, толчок к развитию дедуктивного мышления в биологии. Математика - даже прикладная - остается априорно-синтетическим знанием. Построение моделей всегда требует определенных априорно задаваемых предпосылок. Иногда эти предпосылки остаются на некоторое время в тени, будучи как бы само собой очевидными, но затем возникает сомнение в их очевидности. Биологическая наука оказывается перед альтернативой: ей нужно или со всей серьезностью сформулировать определенные априорные положения, или отказаться от обращения к математическим моделям.
Поясним сказанное здесь хотя бы двумя примерами.
а) Появление ЭВМ заставило биологов начать представлять свои данные в виде матриц высокой размерности. Появилась новая реальность — многомерное пространство признаков Мира живого. Но эта реальность не возникает сама по себе — ее нужно сконструировать, исходя из некоторых априорных соображений. Скажем, в матрицу признаков можно ввести биомассу и численность как два независимых признака, но можно и редуцировать их к одному признаку, поделив один из них на другой или взяв из них среднее геометрическое. Если два признака Х_i и Х_y задают размеры организма, то обычно имеет место закон аллометрического роста: Х_i =а*Х_y^b, где параметры a и b имеют определенный биологический смысл»⁷ и в матрицу признаков, может быть, разумно ввести именно эти косвенно измеряемые параметры. В некоторых случаях, исходя из биологических соображений, по-видимому, разумно нелинейно изменять шкалы, в которых представляются результаты измерений Во всяком случае, ясно одно — результаты математического анализа данных не остаются инвариантными к изменению метрики пространства. И если биолог не может априори дать однозначного решения о способе конструирования пространства, то анализ данных надо проводить в многообразии вариантов. И здесь опять математика бросает вызов мышлению биолога - он оказывается вынужденным научиться делать выводы из своего материала, редуцированного не к одному, а к многим математическим образам.

      б) Возможность обращения к ЭВМ порождает искушение заняться долгосрочным   прогнозом развития больших экосистем при антропогенном воздействии на них. Здесь опять возникает проблема исходных предпосылок. Они опять-таки сначала принимаются как самоочевидные, а потом становятся объектами обсуждения »⁸ . Рассмотрим некоторые из таких предпосылок: (1) Нужно допустить, что система не содержит таких латентных факторов, которые при антропогенном воздействии обретают статус омнипотентности; (2) Нужно высказать какие-то соображения о природе биологического времени, являющегося мерой биологической изменчивости. Сейчас есть достаточно оснований полагать, что биологическое время, по крайней мере, в некоторых случаях, может быть неоднородным и, следовательно, не соотносимым с физическим временем. Как тогда можно брать производные по времени и как вообще возможен прогноз на основе дифференциальных уравнений? (3) Прототипом биологического прогноза является тот прогноз, который давно и успешно пользуются физики. Но прогноз в физике возможен только потому, что в ней есть фундаментальные постоянные, накладывающие определенные ограничений на изменчивость физического Мира. И сами   фундаментальные уравнения в физике существуют только потому, что там фундаментальные постоянные. Небольшое численное изменение одной из фундаментальных постоянных сделало бы невозможным существование нашего Мира. Согласованное изменение нескольких постоянных могло бы породить иной физический Мир. Ничего подобного нет в биологии. В ней нет фундаментальных постоянных, а следовательно, не может быть и серьезного — нетривиального прогноза. Какие-то числовые значения в биологии, конечно, есть, но они почему-то не обретают статуса критически значимых постоянных. Здесь биологи оказываются стоящими перед новой проблемой: какова роль числа в Мире живого?

    Итак, мы видим, что обращение к математике, даже в простейшем ее применении, оказывается совсем не безобидным занятием. Математика провоцирует биологов к построению синтетических суждений.
     Второе направление — это параматематическое моделирование. Математик или, даже чаще, инженер развивает новую порождаемую математикой, но лежащую уже вне ее (но около ее) дисциплину, ориентированную на решение целого семейства задач, близких по своей формальной постановке, но относящихся к областям, предметно далеко отстоящим друг от друга. Обращение к эксперименту здесь носит преимущественно поверхностный характер: он интерпретируется в рамках заранее разработанной модели слишком общего характера, не позволяющей провести тот скрупулезный анализ данных, который имеет место в первом подходе. Приведем несколько примеров второго направления математизации знаний. Одним из них может бьггь столь популярная сейчас теория размытых множеств, развиваемая американским ученым Заде; другими примерами являются: общая теория систем (или системотехника), теория катастроф Р. Тома (в основе ее лежат собственно математические построения — теория особенностей и теория бифуркаций), сюда же, наверное, можно отнести и теорию устойчивости динамических систем. Такого рода построения иногда могут носить и изящный характер, хотя, как правило, они не имеют глубокого собственно математического значения (приятным исключением   оказалась теория информации — возникнув из решения конкретной инженерной задачи, она вскоре обрела статус математической дисциплины, правда, при этом оказавшись уже в значительной степени отчужденной от прикладных задач). По отношению к миру эмпирических наблюдений параматематические построения выступают скорее в роли метафор, часто существенно облегчающих осмысливание наблюдаемых явлений. Скажем, в отличие от классической теории устойчивости, теория катастроф допускает существование нескольких структурно стабильных аттракторов в фазовом пространстве, притягивающих переходные — соседние неустойчивые режимы. Так открывается возможность моделирования морфогенеза. Но слабость теории катастроф в ее излишней всеобщности — возможности исследовать, кажется, все скачкообразные переходы. Она может быть с одинаковым успехом использована не только в биологии и лингвистике, но также скажем, и в оптике, и при моделировании психических заболеваний, устойчивости кораблей, восстаний заключенных в тюрьмах и т. д. Вряд ли подход, обладающий столь широким охватом, может обрести ту специфичность, которая необходима для того, чтобы он мог стать основой развития теории живого. В то же время мы отдаем себе отчет в том, что теоретическая биология не может возникнуть из объединения специфически ориентированных математических моделей, которыми заполнена, скажем, биофизика. Где лежит эта ускользающая от взора грань между всеобщностью и специфичностью и нужно ли ее искать или разумнее встать на путь иного поиска решения задачи? Отметим здесь и еще одно явление, имеющее отношение уже не столько к самой науке, сколько к социологическим аспектам ее развития.
     Параматематические направления мысли удивительно легко выходят на тернистый путь широкой рекламы, чуждый серьезной науке. Так случилось с теорией катастроф. Так было и с теорией информации в момент ее возникновения. Так же начала свой путь кибернетика — дисциплина несомнен-но параматематическая.

    Третье направление, наверное, можно назвать собственно метафоро-математическим, или, пожалуй, даже мифо-математическим. В этом случае исследователь не придумывает новых математических построений, а берет уже существующую математическую структуру и дает ей новую — неожиданную экспликацию в системе тех или иных представлений эмпирического Мира, вводя для этого лишь одну или несколько аксиом связующего характера. Математическая структура начинает выступать в роли мифа, которому исследователь дает новое раскрытие так же, как когда-то это делал мыслитель древности с мифами своего времени. Так предметная область обогащается идущими от математики новыми идеями, порождающими новое видение Мира. Хорошим примером такого приема может быть общая теория относительности: Эйнштейн геометризировал представление о гравитации»⁹ , опираясь на уже существовавшие структуры — геометрию Римана и тензорный анализ.

    Приведем несколько высказываний Ю. И. Манина, перекликающихся с нашими представлениями о третьем пути математизации»¹⁰ :
     «Безумная идея, которая ляжет в основу будущей фундаментальной теории, будет осознанием того, что физический смысл имеет некоторый математический образ, ранее не связывавшийся с реальностью. С этой точки зрения проблема безумной идеи — это проблема выбора, а не порождения.»
       «Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления.»
      «Хороший физик пользуется формализмом, как поэт — естественным языком. Пренебрежение регористическими запретами оправдывается конечной апелляцией к физической истине, чего не может позволить себе математик. Выбор лагранжиана в единой теории слабых электромагнитных взаимодействий Салама-Вейнберга, введение в него полей Хиггса, вычитание вакуумных средних и прочее колдовство, приводящее, скажем, к предсказанию нейтральных токов, оставляет математика в состоянии немого изумления.»
      «Настоящая смена теорий не есть смена уравнений — это смена математических структур ...»

     Нужно отметить, что третий путь математизации знаний — это пока все же прерогатива только физики. И именно поэтому математика стала неотъемлемой — органической частью физического знания. В предисловии к нашей работе »¹¹ мы сформулировали следующее утверждение: физика непонятное объясняет понятным образом через еще более непонятное. Все остальные области знаний поступают иначе — они пытаются объяснить непонятное через понятное, т. е. через те фундаментальные представления о мироустройстве, которые возникли у человека в процессе антропогенеза, когда горизонты реальности еще не были столь широкими и когда Мир мог раскрываться через мифы, которые теперь нам представляются совсем наивными.

     Возможен ли третий путь математизации в других областях знаний и, в частности, в биологии? Чтобы ответить на этот вопрос, надо посмотреть прежде всего на то, что сделало его возможным в физике. Существенным здесь оказалось прежде всего то, что именно в физике математические образы порождают модели, легко становящиеся соотносимыми с результатами физического эксперимента. Оказывается возможной количественная их проверка — фальсифицируемость по Попперу. И более того: в физике возможен проверяемый   прогноз новых явлений — это делает модель почти неуязвимой для критики. В биологии модель не может обрести прогностической силы хотя бы уже потому, что в Мире живого нет опорных вех — фундаментальных констант.

     И все же велик соблазн и в биологии встать на третий путь математизации. Такие модели, оставаясь глубоко метаморфичными, неизбежно будут одновременно носить скорее всего натурфилософский характер. Но не так ли обстоит дело и в космогонии, где также невозможен эксперимент, ставящий модели в условия риска?
Право на существование модели такого типа могут обрести только если они будут обладать достаточно глубоко разъяснительной силой, широтой охвата разъясняемого материала и внутренней изящностью. Но кто знает — достаточно ли серьезен такой критерий? Не начнется ли переполнение науки моделями такого типа? V      Нам представляется, что достаточно абстрактная модель Мира живого может быть построена, если будет сделана попытка описать биологическую изменчивость через геометродинамику вероятностного пространства. Перед нами eсть увлекательный пример — наиболее общей теорией в физике оказался геометродинамический подход Эйнштейна в общей теории относительности. Дальше последовали идеи Уилера о геометродинамике. Оказалось возможным ввести представление о флюктуации топологии на малых расстояниях. Разъяснительная сила геометродинамического подхода увеличилась - он охватил и электромагнитные явления »¹² . Так возникла новая научная программа. В нашем подходе»¹³ к моделированию биологической изменчивости мы исходим из представления о том, что все множество морфофизиологических признаков Мира живого как-то соотнесено с числовой осью m. Динамика у нас определяется не перемещением некой точки, фиксируемой на оси m, а приданием различных весов участкам этой шкалы. Вводится в рассмотрение плотность вероятности р(m). Геометродинамика раскрывается через теорему Бейеса, обретающую статус вероятностного силлогизма и пр. Так удается объяснить все многообразие биологической изменчивости и дать представление о собственном — биологическом Времени. Mир живого раскрывается через геометрический образ. Но это уже тема другой работы»¹⁴ .
     ==============
1Кант И. Метафизические начала естествознания (1786 г.). Сочинения в 6 т., т.6. М., 1966, с.38, 59.
2Nalimov V. V. Faces of Science, Philadelphia, Pa.: ISI Press 1981.
3Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике могущей появиться как наука. Сочинения в 6 т., т 4, ч. 1, М., 1965, с. 196.
4Винберг Г.Г. Многообразие и единство жизненных явлений и количественные методы в биологии. Журнал общей биологии, 1981, 42, I, с. 5-18.
5Розенталь И. Л. Физические закономерности и численные значений фундаментальных постоянных. Успехи физических наук. 1980, 131, 2, с. 239-256.
6Waddington G. Н. Towards a Theoretical Biology, an IUBS Simposium: Prolegomeha, Bimiinngam: Aldine Pub. Comp. 1968, 234 p.; Sketches, Edin-burgh: Edinburgh Univ. Press, 1969, 351 p.; Drafts, Chicago: Aldine Pub. Comp., 1970; 253; 4. Essays, Edinburgh: Univ. Press, 1972, 299 p. Есть pycский перевод 1-го тома. На пути к теоретической биологии (ред. русского издания Б. Л. Астауров). М., Мир, 1970.
7Коростышевский М. Л., Эппель М. С. Степенная зависимость Рубнера - биологический механизм. Журнал общей биологии, 1979. с. 938-941.
8Налимов В. В. Анализ оснований экологического прогноза. Вопросы философии, 1983, ї 1, с. 98-117.
9Он при этом допустил возможность существования физического пространства с переменной кривизной - это было столь необычно, что вызвало возражение даже у такого мыслителя как Уайтхед.
10Мании Ю. И. Математика и физика. М., 1979, с. 4, 8, 32.
11Nalimov V. V. Realms of Unconscious: The Enchanted Frontiers, Philadelphia, Pa, ISI Press, 1982, 320 pp.
12Уилер Дж. Предвидение Эйнштейна (перевод с нем.) М., 1970, Уилер Дж. Гравитация, нейтрино, Вселенная (перевод с англ.). М., 1970. Брайс С. де Витт. Квантовая гравитация. В мире науки, 1984, N2, с. 50-62.
13Ранее к абстрактно-геометрическому описанию Мира живого подошел известный биофизик Н. Рашевский (топологический подход) и его ученик Р. Розен (подход с позиций теории категорий и функторов):    Rashevsky N. Topology and Life: Search of General Mathematical Principles in Biology and Sociology. Bulletin of Mathematical Biophysics 4, 317-348. Rashevsky N. The Geometrization in Biology. 1956, 1 Rashevsky N. Physics, Biology and Sociology: 11 Suggestion for a Synthesis ib. 1967, 29, 3, 643-648. Rosen R. Representation of Biological Systems from the Standpoint of the Theory of Categories, ib. 1958, 20, 4, 317-241.
14Налимов В. В. Вероятностная модель глобального эволюционизма и теоретическая биология. Бейесовский подход. В сб.: Методологические вопросы теоретической биологии, биофизики. М.: Наука - в печати.

карта сайта поиск медвеб обратная связь авторы реклама отзывы

Возврат на главную страницу.

Возврат в КУНСТКАМЕРУ.