Яндекс.Метрика

Логистическая регрессия в медицине

Каждый слышит то, что понимает. Гете


"Люди перестают мыслить,
когда перестают читать
". Д. Дидро

Статистика посещаемости БИОМЕТРИКИ Яндекс
цитирования
Индекс цитирования

Наш адрес:

Выбрав любое изображение, кликните по нему мышкой, и Вы узнаете о статистике ...


Редактор БИОМЕТРИКИ
В. Леонов

  • 385
data-counter data-url="http://www.biometrica.tomsk.ru/">
Яндекс
цитирования
Яндекс цитирования
 

16.05.2011 г. на сайт пришло 2561 человек, открывших 3205 страниц
14.11.2011 г. на сайт пришло 2106 человек, открывших 3250 страниц
14.12.2011 г. на сайт пришло 2640 человек, открывших 3452 страницы
17.01.2012 г. на сайт пришло 2439 человек, открывших 3097 страниц
03.03.2012 г. на сайт пришло 2219 человек, открывших 3019 страниц
30.05.2012 г. на сайт пришло 3512 человек, открывших 4706 страниц
06.03.2014 г. на сайт пришло 2556 человек, открывших 3179 страниц
08.02.2015 г. на сайт пришло 2341 человек, открывших 2682 страницы

Если приходят, значит полезное находят...


Введение
Наши возможности. О возможностях статистического анализа
Леонов В.П. Ошибки статистического анализа биомедицинских данных. Международный журнал  медицинской практики, 2007, вып. 2, стр.19-35
Список научных и учебных изданий по биометрике и статистике
Материалы по науковедению
История биометрики
Статистическое рецензирование статей и диссертаций

Долгое прощание с лысенковщиной...
Семинар по биометрике в Красноярске



Если Вы сторонник использования
статистики, разместите на своём сайте
HTML-код нашего баннера:

BIOMETRICA - журнал для сторонников доказательной биологии и медицины
25 наиболее популярных ссылок, посещаемых нашими читателями
http://www.biometrica.tomsk.ru/comp_aver.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_8.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/student.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/UNESCO%202010.pdf
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz_28.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/kk.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_3.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio1.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/error.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/STAT_CARDIO_2014.pdf
http://www.biometrica.tomsk.ru/logit_9.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio7.htm

http://www.biometrica.tomsk.ru/potencial.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/percent_00.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/lis.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/kamchat.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biometrica_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/ftp/dict/cult/gramm.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biometrica_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio5.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/krasnojarsk.htm http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_3.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/logit_6.htm

БИОМЕТРИКА + Музыка. В. Леонов.

Музыка... Вот что сказал о ней великий Иоганн Себастьян Бах: "Цель музыки - трогать сердца". В детстве автор этих строк получил музыкальное образование. Любимыми инструментами были мандолина и гитара. Любимыми композиторами - Вивальди, Бах, Альбиони, Боккерини, Беллини, Корелли, Скарлатти. В 80-е годы прошлого столетия в Томск часто приезжал с концертами маэстро Владимир Спиваков. Эти концерты организовывал Егор Лигачёв, бывший в ту пору первым секретарём Томского обкома КПСС. На свой первый концерт в Томск Владимир Спиваков приехал один. Великолепно играл на скрипке! Концертный зал был переполнен слушателями, которые были в восторге от его концерта. Именно тогда мне удалось впервые встретиться с ним, и взять у него автографы на его грампластинки. В дальнейшем посещал все его концерты. В 1979 г. В. Спиваков организовал камерный оркестр "Виртуозы Москвы". Однажды в 90-е годы Владимир Спиваков должен был приехать в Томск с "Виртуозами Москвы", и в течение трёх дней дать 3 концерта. Однако из-за проблем с топливом в те времена, их самолёт посадили в Омске, где они пробыли 2 дня. И когда прилетели в Томск, то в один день провели все 3 концерта, которые я прослушал. И вновь взял автографы на новые грампластинки, и сделал много фотографий В. Спивакова.


Музыка...  Она помогает всегда. Вот почему я рассылаю почти всем своим корреспондентам файлы с хорошей музыкой. Любите музыку, слушайте её чаще. И она поможет лучше понимать бистатистику и результаты статистического анализа...

13 февраля 2014 г. Владимир Спиваков и "Виртуозы Москвы" дали концерт в Краснодаре. Я посетил этот прекрасный концерт, и вновь встретился с Владимиром Теодоровичем. Подарил ему его грампластики, фотографии, и свою книгу.

 

Логистическая регрессия в медицине и биологии

В. Леонов

1. Логистическая регрессия. Основные понятия и возможности метода.
2. Логистическая регрессия. Анализ массивов большой размерности.
3. Логистическая регрессия. Примеры анализа реальных данных.
4. Логистическая регрессия и ROC-анализ.
5. Особенности логистической регрессии в акушерстве.
6. Особенности логистической регрессии в психиатрии, психологии и социологии.
7. Пример использования логистической регрессии для расчёта прогноза исхода оперативного лечения.
8. Логистическая регрессия - "вершина пирамиды". А в "фундаменте" - что?
9. Как повысить качество уравнений логистической регрессии.


В данной серии статей, на уровне доступном для начинающих, рассмотрены основы логистической регрессии. На многочисленных примерах анализа реальных массивов данных поясняется специфика использования данного метода. Объяснено, что методу присуща множественность решений, что позволяет выбирать для использования в реальной врачебной практике наиболее удобные и надёжные тактики лечения. Рассмотрено использование метода к массивам данных, содержащим несколько сотен признаков. Показано, что корректное создание таких массивов и их анализ возможны лишь при участии биостатистиков на самых первых этапах таких исследований. Рассмотрена связь логистической регрессии и ROC-анализа. Приведены многочисленные уравнения логистической регрессии и ROC-кривые, полученные при анализе реальных данных. Объяснена целесообразность использования вместе с методом логистической регрессии набора методов анализа парных взаимосвязей между различными признаками, а также использование более сложных методов многомерной статистики.

Логистическая регрессия. Основные понятия и возможности метода.

При научных занятиях метод
и направление - главное...
Не отыскав верного метода,
не найдя направления,
растеряешь множество времени
и сам растеряешься.
______________________________
Н.И. Пирогов.

 

  
Данная статья посвящена методу логистической регрессии и особенностям его применения в медицине и смежных науках. Теория логистической регрессии достаточно сложна, поэтому мы рассмотрели ниже лишь основные понятия этого метода, а также привели небольшой обзор решений, полученных автором в последнее время при анализе реальных данных. Статья  имеет  3 основных цели. Во-первых, познакомить с основными понятиями и возможностями данного метода. Во-вторых, рассмотреть специфику подхода к постановке и решению таких задач, которые могут быть решены с помошью этого метода. В-третьих, продемонстрировать на примере анализа реальных массивов данных типичные результаты, получаемые при использовании этого метода.
  

В разделе «ДОКАЗАТЕЛЬНАЯ МЕДИЦИНА И СТАТИСТИКА»  (http://www.biometrica.tomsk.ru/kuzbass2.htm ) нашего обзора «Доказательная или сомнительная? Медицинская наука Кузбасса: статистические аспекты» мы уже частично касались возможностей данного метода. Большинство используемых на практике статистических методов можно рассматривать как способы оценки статистической взаимосвязи между двумя или более признаками, переменными. Например, при сравнении средних значений одного количественного признака двух или более групп пациентов (контроль, больные и т.п.), мы изучаем статистическую взаимосвязь между одним группирующим признаком, и одним количественным признаком (http://www.youtube.com/watch?v=UZ8NGAI1EfU  ). В том случае, когда такая взаимосвязь оказывается статистически значимой, возможно оценить также и силу, интенсивность этой связи. Для этого могут быть использованы различные показатели интенсивности такой связи. Как правило, такие показатели имеют значения в интервале от 0 до 1. Рассмотрим следующий пример. Изучается влияние прегравидарной подготовки (признак с двумя градациями: 1 – подготовка проводилась; 2 – подготовка не проводилась) на исход родов (признак с двумя градациями: 1 – кесарево сечение; 2 – самопроизвольные роды). Анализ таблиц сопряжённости показал наличие статистически значимой связи этих двух признаков. При этом сила такой связи также может быть выражена различными статистиками, например, коэффициентом контингенции, Фи-коэффициентом, или V-коэффициентом Крамера
<(
http://www.youtube.com/watch?v=XA2dtUiqZKA   http://www.biometrica.tomsk.ru/freq1.htm

  http://www.biometrica.tomsk.ru/freq.htm ). В очередном примере изучается связь между двумя количественными признаками:  уровнем глюкозы натощак и величиной индекса Homo. Корреляционный анализ показал наличие статистически значимой связи двух этих признаков. Как и в предыдущих примерах, интенсивность этой связи также может быть оценена специальной статистикой, например, коэффициентом корреляции  (http://www.youtube.com/watch?v=15HwVjLr17E ).

 

Перечисленные выше парные зависимости имеют и вторую ипостась. В них можно оценивать не только показатели интенсивности этой связи, но также оценивать и выражения, с помощью которых по значению одного признака можно оценивать значение второго признака. Точность таких оценок зависит от многих факторов, в том числе и от формы исследуемой взаимосвязи. В подобных парных зависимостях не всегда возможно надёжно указать направление причинно-следственной связи. Нередко оба признака есть следствия множества других причин. Поэтому для их учёта необходимо от парных зависимостей переходить к многомерным методам. В чём принципиальное отличие таких многомерных методов от парных? Рассмотрим это отличие на примере множественной регрессии (http://www.youtube.com/watch?v=0tS_jnh7AoY ).

Для пары количественных признаков мы может оценить с помощью коэффициента корреляции интенсивность этой связи. И для той же пары признаков можем оценить и различные уравнения регрессии. Они могут иметь такой вид: Y=a + b*X; X=c+d*Y. Если же зависимость имеет нелинейный характер, то эти уравнения могут выглядеть, например, так: Y=a*Xb ; Y=a*ln (b+c*Х) или Y=a*exp(b+cX), и т.д.

Теперь перейдём к случаю множественной зависимости. Обозначим эту зависимость как Y=f(x1, x2, … , xk), где Y – зависимая переменная (выходная, результирующая переменная), а xi – независимые переменные (предикторы, объясняющие, предсказывающие признаки). В этом случае для оценки параметров данной множественной зависимости используются не только оценки парных связей вида Y-xi , но и оценки связей между парами предикторов xi - xj .

Наиболее часто для оценки таких зависимостей используют метод множественной линейной регрессии. В этом случае зависимой переменной Y является количественный признак, а предикторами (независимыми переменными) xi – также количественные признаки. Классическую модель линейной регрессии можно выразить следующей формулой:

, где a0 – так называемый свободный член (пересечение), ai – регрессионные коэффициенты, хi – предикторы (независимые переменные), е – случайная ошибка. Расширением такой модели может быть выражение вида . В этой полиномиальной модели используются квадраты независимых переменных xi2 , а также эффекты их взаимодействия xi*xj .

Если сравнить вторую регрессионную модель с первой моделью, то основное отличие заключается в наличии нелинейных эффектов вида  xi2 и xi*xj. Иными словами, первая модель является сугубо линейной моделью, в которой величина зависимой переменной Y равна сумме значений предикторов хi , предварительно умноженных на некоторые весовые коэффициенты аi . Тогда как во второй модели помимо таких аддитивных эффектов используются в данной сумме ещё и нелинейные эффекты. Т.е. вторая модель по своей сути является моделью линейно-нелинейной. По своей структуре такая модель занимает промежуточное положение между линейной и нелинейной моделью.

Нелинейные множественные регрессионные модели могут иметь различную структуру. Так одной из наиболее известных нелинейных моделей является мультипликативная производственная функция Кобба-Дугласа, которая была использована в 1928 г. Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В ней авторы попытались выразить взаимосвязь между объёмом выпускаемой продукции Y и объёмами труда и капитала в виде функции Y=A*La*Kb. Как видно из этого выражения, нелинейность соотношения между зависимой переменной Y и предикторами L и K обеспечивается не только фактом перемножения предикторов, но также и предварительным нелинейным преобразованием этих предикторов путём их возведения в степень.

 

Однако подобные нелинейные преобразования возможно применять не только по отношению к предикторам, но и по отношению к самой зависимой переменной Y. Так достаточно популярно в регрессионном анализе использование семейства степенных преобразований Бокса-Кокса, в котором характер нелинейного преобразования зависимой переменной Y определяется величиной параметра  m:

W=(Ym  – 1)/m, если m равно 0;

W=lnY, m = 0.

Существует достаточно много алгоритмов оценки регрессионных коэффициентов таких моделей.  Например, метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, пошаговые алгоритмы отбора предикторов, ридж-регрессия и т.д. Результатом этих алгоритмов являются уравнения регрессии, по которым можно оценить интенсивность взаимосвязи зависимой переменной Y и подмножества предикторов. Отметим, что для всех многомерных методов, в т.ч. и регрессионных моделей всех видов, отличительной особенностью является поливариантность решений. Т.е. получение по одним и тем же исходным данным некоторого набора различных решений. Различие уравнений в случае регрессионного анализа будет обусловлено как различием используемых алгоритмов, так и различием комбинаций используемых опций (вспомогательных условий) для каждого из этих алгоритмов. В случае логистической регрессии (она же логит-регрессия) зависимой переменной Y является дискретный качественный признак, имеющий две или более градаций. Данные градации могут быть закодированы как цифрами, например, 1; 2  и т.п., либо 4; 7; 12 и т.д.,  либо иными символами, например, буквами А; В; С и т.д. Отметим, что кодировка отдельных градаций цифрами (а не числами!) означает, что в этом случае выполняются лишь соотношения «равно» и «не равно», но не выполняются соотношения «больше» и «меньше». К примеру, если закодировать исход лечения как «1=выздоровление», и «2=пациент умер», то это не означает что градация 2 больше градации 1 в два раза.

 

Основное отличие логит-регрессии от множественной линейной регрессии заключается в том, что в данном методе с помощью полученного уравнения оценивается не само значение зависимой количественной переменной Y, а лишь вероятность принадлежности наблюдения к той или иной градации качественного признака. Простейшей моделью логит-регрессии считается так называемая бинарная логистическая регрессия. В этом случае зависимый качественный признак имеет всего 2 градации, т.е. является дихотомическим. Отсюда и название «бинарная», т.е. имеющая 2 градации.  Отметим, что, как и в случае множественной линейной регрессии, зависимая дихотомическая переменная не обязательно является результирующей с точки зрения причинно-следственных соотношений. Хотя в тех задачах, где полученное уравнение используется в целях прогноза, зависимая переменная чаще всего представляет собой именно следствие воздействия на изучаемую систему комбинации значений, которые принимают предикторы. Как известно, вероятность может принимать значения в интервале от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие). Напомним, что в медицине весьма распространённой ошибкой является использование выражения «достоверное различие». Критический анализ этого ошибочного оборота приведён в статье «О неправильном употреблении термина "достоверность" в  российских научных психиатрических и общемедицинских статьях» (URL: http://www.biometrica.tomsk.ru/let1.htm ). В подавляющем числе случаев в реальной практике исследований вероятность событий находится в интервале между 0 и 1, исключая эти значения. Поскольку данные события не являются ни невозможными, ни достоверными, то их принято назвать случайными.

 

Рассмотрим набор данных, в котором зависимой переменной будет бинарный признак «Исход лечения» с градациями «1=выздоровление», и «2=пациент умер».  Обозначим вероятность выздоровления пациента как «р». Поскольку сумма вероятностей этих двух исходов должна равняться 1, то вероятность летального исхода равна «1- р».

Далее рассмотрим величину называемую шансом (Ш). В этом случае, например, для значения р=0,9 получим значение Ш = 0,9/(1-0,9) = 0,9/0,1 = 9. Смысл этой величины достаточно очевиден. Чем больше будет значение «р», тем больше будет и значение Ш. И наоборот. Для «р»=0,5 получим Ш = 1.
Следующее преобразование позволит использовать не только положительную числовую полуось, на которой принимает свои значения Ш, но также и отрицательную полуось. Для этого прологарифмируем Ш. Логарифм Ш  принято называть логитом. Название логистической регрессии связано с логистической функцией распределения  (здесь «е» – основание натурального логарифма, равное примерно 2,718282). В логистической регрессии вероятность конкретного исхода, например, выздоровления пациента, можно представить следующим выражением: ,

где Р{(Y=1)|X1, X2, … , Xk} – вероятность того, что зависимая переменная Y примет значение 1 (пациент выздоровеет), при условии, что у данного пациента k предикторов приняли следующие конкретные значения: х1 =X1, х2 =X2, … , хk=Xk ( здесь: хj  j-тый предиктор, Xj – конкретное значение j-того предиктора). Параметр «beta» в данных выражениях вычисляется для конкретного i-того наблюдения с использованием выражения beta= a0 + a1*X1a2*X2 + … +   aj*Xj , где a0 – свободный член, пересечение (Intercept),  aj – регрессионные коэффициенты для предикторов хj, Xj – значение предиктора хj у i-того наблюдения.

 

Выражение  может быть представлено иначе. Если разделить числитель и знаменатель дроби на величину ebeta,  то получим идентичное выражение

.

   В тех случаях, когда параметр beta имеет значения равные нескольким единицам, величина вероятности «р» оказывается близкой к 1 или 0. Например, при beta=3 имеем
.

Напротив, при значении beta равном –3, получаем следующее выражение: .  

Логистическая регрессия интенсивно развивалась в последние 30 лет. Метод достаточно сложный и для своего использования требует знания и понимания многих нюансов. Он имеет гораздо меньше ограничений, нежели дискриминантный анализ, и в силу этого его всё чаще применяют для сравнения многомерных группировок наблюдений (http://www.youtube.com/watch?v=HzoYGRbeJzI ). Продуктивно использовать его под силу лишь профессиональному статистику.

 

  Попытаемся показать потенциальные возможности этого метода и его сложности на примере результатов анализа реальных данных. Эти данные различны не только по объёмам наблюдений и признаков, но и по своей тематической направленности. Различие тематики исследований должно помочь интересующимся данным методом увидеть аналогии с собственной тематикой, и благодаря этому способствовать правильной формулировке целей использования логистической регрессии. В описании приведённых ниже массивов даны реальные названия признаков, использованные при оценке уравнений логистической регрессии. Дискретные, качественные признаки после номера признака имеют дополнительную букву А.  В уравнениях же реальные обозначения признаков заменены условными обозначениями вида A1, A2, …, Aj .   Так в одном из массивов собранном для решения диагностических задач в кардиологии, имеется следующий набор признаков:

NUMBER="Номер наблюдения" VAR1A="группы по фап"

VAR2A="группы по патологии" VAR3="ПС 1" VAR4="ПС 2" VAR5="ПС 3" VAR6="дельта ПС 1-2" VAR7А="мин зн ПС" VAR8А="макс зн ПС"

VAR9="сумма ТТ" VAR10="среднее ТТ" VAR11A="группы по силе НС" VAR12="сила НС" VAR13="СТ" VAR14="ЛТ" VAR15A="значения ФАП" VAR16A="группы по ФАП" VAR17="ФАП" VAR18="дельта САД"

VAR19="дельта ДАД" VAR20="дельта чсс" VAR21="сад %" VAR22="дад%" VAR23="чсс%" VAR24="вик дельта" VAR25A="группы по ВИК" VAR26A="группы по сад" VAR27="мок дельта" VAR28A="группы по мок"

VAR29="имт" VAR30="СДД дельта" VAR31="Пд дельта" VAR32="дп дельта" VAR33="дп %" VAR34="возраст" VAR35="сад до" VAR36="дад до" VAR37="чсс до"

Для признака  VAR2A имеются следующие градации: 1="больные", 2="контроль" и 3="старше 60".

 

Цель использования метода логистической регрессии всегда двояка. С одной стороны, получив набор оценок уравнений логистической регрессии, мы получаем набор моделей взаимосвязи выходного, зависимого дискретного признака от наборов качественных и количественных предикторов. Современные методы оценки уравнений логистической регрессии позволяют оценивать не только упомянутые выше регрессионные коэффициенты  a0 и  aj , но также и достаточно большой набор других важных показателей, характеризующих как отдельные предикторы, так и качество всей модели в целом. В частности, такой показатель, как отношение шансов и 95%-ный доверительный интервал для отношения шансов по каждому предиктору. Весьма важными показателями являются стандартизованные регрессионные коэффициенты. Чем больше модуль такого коэффициента, тем сильнее его влияние на зависимую переменную. Другим важным показателем качества модели является процент конкордации (Percent Concordant). Этот показатель равен доле наблюдений, правильно переклассифицированных в отдельные подгруппы зависимого показателя с помощью уравнения логистической регрессии. Чем ближе этот показатель к 100%, тем выше качество данной модели. Сила связи между фактической принадлежностью к анализируемым подгруппам зависимого признака, и принадлежностью предсказанной по уравнению логит-регрессии, оценивается специальным коэффициентом, аналогом коэффициента корреляции для дискретных признаков, называемым коэффициентом D-Зомера (Somers' D). Данный показатель равен 0 при полном несовпадении, и 1 при полном совпадении.
 Подобно тому, как во множественной регрессии возможен анализ аномальных наблюдений, так и в логистической регрессии, возможно проанализировать влияние отдельных наблюдений на параметры уравнения. При этом после удаления аномальных наблюдений, возможна повторная оценка параметров уравнения в более однородной выборке.

 

Так, для описанного выше массива данных были получены более 10 уравнений логистической регрессии, с показателями конкордации от 82 до 95,8%. Вот как, например, выглядит одно из таких уравнений:

   Выше красным цветом выделены строки для признаков, у которых стандартизованные коэффициенты регрессии имеют достаточно большие значения, т.е. именно эти предикторы оказывают максимальное влияние на оценки вероятностей.

  Количество предикторов в уравнении логистической регрессии говорит о многом. Если обратиться к приведённому выше уравнению, то мы увидим, что в нём присутствует половина всех используемых в исследовании признаков. В этом случае вполне обоснованно говорить о том, что различие подгруппы больных и подгруппы здоровых пациентов имеет достаточно разветвлённую структуру. С другой стороны, это также свидетельствует и о том, что применительно к данному заболеванию выбрана достаточно адекватная система признаков, характеризующих данное заболевание. Об этом же говорит и высокий показатель конкордации. Однако тот факт, что в уравнение логистической регрессии вошла половина всех используемых признаков, вовсе не означает, что при сравнении средних этих признаков для больных и здоровых, мы будем иметь статистически значимые различия. Вполне возможно, что причины включения этих признаков в состав предикторов имеют иную природу, которую мы будем обсуждать ниже в разделе "Логистическая регрессия. Анализ массивов большой размерности".

Рис. 1. Отсутстсвие значимых различий средних в группах 1 и 2 по признакам Х и Y.

На этот факт мы уже обращали внимание в разделе "ДОКАЗАТЕЛЬНАЯ МЕДИЦИНА И СТАТИСТИКА"  нашего обзора "Доказательная или сомнительная? Медицинская наука Кузбасса: статистические аспекты". Проиллюстрируем это утверждение на рис. 1.

    Для оценки статистической значимости всего уравнения в целом, с помощью метода правдоподобия вычисляется статистика χ2. Так, для приведённого выше уравнения эта статистика равна 63,3537, что при числе степеней свободы df=19 даёт достигнутый уровень значимости р<0,001. Т.е. полученное уравнение логистической регрессии адекватно. Другая статистика χ2 оценивает с помощью критерия Хосмера-Лемешова качество подгонки, сравнивая наблюдаемые частоты и расчётные. В случае хорошего согласия имеем для этой статистики уровень значимости более 5%. Для приведённого выше уравнения статистика χ2=2,1075, df=6, р=0,9096. Из чего делаем вывод о том, что качество подгонки хорошее. Во всех приводимых ниже уравнениях достигнутый уровень значимости данной статистики также был гораздо более 5%, т.е. качество подгонки было хорошее.

 

 

В реальной практике полученные уравнения логистической регрессии можно использовать для прогнозирования того или иного исхода. Например, рассмотрим массив данных(http://www.biometrica.tomsk.ru/rus_dasl.htm ), в котором используются следующие признаки:

 

Зависимый признак VAR9A (летальность через полгода) имеет две градации: 1 – выжил, 2 – умер. Проведя оценку коэффициентов уравнения логит-регрессии методом максимального правдоподобия, получили следующий результат:

Как видим, все предикторы имеют статистически значимые коэффициенты регрессии (Pr > ChiSq гораздо меньше критического уровня). При этом стандартизованные коэффициенты, представленные в последнем столбце, говорят о доминирующем влиянии двух предикторов. При данном наборе предикторов процент конкордации равен 82,3%. При использовании пошаговых алгоритмов оценки уравнений, по мере изменения набора предикторов можно проследить динамику изменения процента конкордации.

Ниже представлен фрагмент таблицы, содержащей вычисленные значения параметра beta, а также вычисленные с его использованием вероятности принадлежности каждого пациента к каждому из 2-х исходов.

 

 

 

Из этой таблицы видно, что чем меньше значение параметра beta, тем выше вероятность исхода «умер». И наоборот, чем больше значение параметра beta, тем выше вероятность исхода «выжил».  

 

 

 

 

В том случае, когда параметр beta имеет значение вблизи 0, вероятности обоих исходов примерно равны.

 

 

 

Очевидно, что для практического использования полученных моделей в целях прогноза, следует стремиться к получению таких уравнений логистической регрессии, в которых процент конкордации будет максимально большим. Первоначально для этого можно опробовать все доступные алгоритмы оценки уравнения логит-регрессии. Далее необходимо выяснить структуру парных связей между зависимой переменной, и каждым предиктором. Одним из возможных путей повышения процента конкордации является изменение набора потенциальных предикторов. Так на основе детального анализа упомянутых выше парных взаимосвязей возможен переход от исходной структуры качественных предикторов к новой структуре этих признаков. Например, использование вместо одного качественного признака с 4 или 5 градациями нескольких новых признаков с меньшим числом градаций.

 

Хороший эффект может дать и конструирование новых признаков из ранее использовавшихся количественных признаков. Такие признаки могут быть получены как путём линейных или нелинейных преобразований исходных переменных, так и конструированием новых признаков, содержащих эффекты взаимодействия исходных показателей. Так использование перечисленных выше возможностей позволило в итоге повысить для данного массива значение процента конкордации от 82,3% до 97,8% . Как правило, для получения уравнений с высокими значениями процента конкордации приходится оценивать до нескольких десятков или сотен уравнений, из которых путём последовательной корректировки опций алгоритмов оценки удаётся получить несколько таких уравнений.

 Имея в своём распоряжении такое уравнение, врач может определить, значения каких конкретно предикторов необходимо скорректировать определёнными вмешательствами, чтобы увеличить вероятность желательного исхода, например, повысить вероятность исхода «пациент выжил». Рассмотрим другой реальный пример использования логистической регрессии. Массив данных из 561 наблюдения (http://www.biometrica.tomsk.ru/rus_dasl.htm) содержит следующие показатели:

 

 

Признак VAR1A имеет 2 градации: 1=«здоровые дети», и 2=«больные дети». Ниже представлено один из результатов оценки уравнения

 

Как видим, все коэффициенты уравнения статистически значимы (достигнутый уровень значимости Pr > ChiSq значительно меньше критического уровня). Отметим, что максимальный модуль коэффициента регрессии имеет признак A3. Причём, все коэффициенты уравнения отрицательны, за исключением свободного члена. Процент конкордации для данного решения равен 94%. Если отсортировать наблюдения по величине параметра beta (Value of the Linear Predictor), то увидим следующую картину:   

 

Одной из важных задач, встречающихся в медицинской практике, является надёжная диагностика заболевания. Некоторые заболевания достаточно трудно диагностируемы. Одним из таких заболеваний является тромбоэмболия лёгочных артерий (ТЭЛА). Очень часто данное заболевание проявляет себя после полостных операций. Массив, список переменных в котором приведён ниже, собран сотрудницей Томского НИИ кардиологии О.В., занимающейся исследованием данной патологии

NUMBER=«Номер наблюдения»

V1 = «возраст»

V2 = «масса тела»

V3 = «рост»

V4 = «масса сердца»

V5GP = «жидкость в плевральных полостях»

V6GA = «асцит»

V7GC = «жидкость в перикарде»

V8DL = «дилятация левого желудочка»

V9DR  = «дилятация правого желудочка»

V10DRP = «дилятация правого предсердия»

V11DLP =  «дилятация левого предсердия»

VVL12 = «толщина стенки левого желудочка»

VVR13 = «толщина стенки правого желудочка»

V14R = «рубцы» 

V15RB = «рубец боковой»

V16RZ = «рубец задний»

V17RP = «рубец перегородочный»

V18RVL = «рубец верхушки левого желудочка» 

V19RVP = «рубец верхушки правого желудочка»

V20RP = «рубец передний»

V21RK = «объём рубца крупно-очаговый»

V22RM = «объём рубца мелкоочаговый»

V23RT = «объём рубца трансмуральный»

V24RI = «объём рубца интрамуральный»

V25I = «наличие инфаркта»

V26IB = «инфаркт боковой»

V27IZ = «инфаркт задний»

V28IR = «инфаркт перегородочный»

V29ILV = «инфаркт верхушки левого желудочка» 

V30IPV = «инфаркт верхушки правого желудочка»

V31IP = «инфаркт передний»

V32IK = «инфаркт крупноочаговый»

V33IM = «инфаркт мелкоочаговый»

V34IT = «инфаркт трансмуральный»

V35AP = «аневризма передней стенки»

V36AZ = «аневризма задней стенки»

V37AR = «аневризма перегородки»

V38AB = «аневризма боковой стенки»

V39AVL = «аневризма верхушки левого желудочка»

V40KT = «патология трёхстворчатого клапана»

V41KALL = «патологии прочие (аорт-ный, митр-ный)»

V42NM = «мерцательная аритмия»

V43NE = «экстрасистолия»

V44NH = «блокады ножек пучка Гиса»

V45NAB = «атриовентрикулярная блокада»

V46NALL = «другое (миг ВР по пр-ям, супр. тах-ия)»

V47TUP = «тромбы в ушке пр. предсердия»

V48TP = «тромбы пристеночно в правых отделах»

V49TL = «тромбы в левых отделах»

V50TV = «тромбы НПВ и её ветви»

V51TAO = «тромбы крупные артер-ные cосуды, аорта»

V52TA = «тромбы в артериальном русле»

V53OM = «массивная ТЭЛА»

V54OS = «субмассивная ТЭЛА»

V55OSS = «мелкие ветви»

V56OR = «рецидивирующая ТЭЛА»

V57ST = «причина смерти ТЭЛА»

V58SO = «причина смерти ОНМК»

V59SI = «причина смерти ОИМ/ОКС»

V60SB = «причина смерти воспалительный процесс»

V61SALL = «причина смерти ТЭЛА + ….»

V62SHSN = «причина смерти ОСН/ХСН»

V63SN = «причина смерти другая»

V64D = «распознана ли ТЭЛА»

V65CA =  «сопутствующая артериальная гипертония»

V66CV = «сопутствующий воспалительный процесс»

V67CI = «сопутствующая ИБС»

V68CC = «сопутствующий сахарный диабет»

Многие из приведённых выше дискретных, качественных переменных могут быть использованы в качестве зависимой переменной. Остановимся на случае, когда зависимой переменной будет признак V53OM="Массивная ТЭЛА". Данный признак имеет 2 градации: 1 - есть массивная ТЭЛА, и 2 - нет массивной ТЭЛА. Одно из уравнений, полученных для этой зависимой переменной, приведено ниже.

                                       Standard    Wald                         Standardized

Parameter  DF  Estimate   Error   Chi-Square   Pr > ChiSq       Estimate

 Intercept   1    14.9644     7.0925       4.4516       0.0349

 A1           1     1.4450     0.6651       4.7208       0.0298         0.3316

 A2           1     4.1727     1.8999       4.8235       0.0281         0.9575

 A3           1     2.9009     1.4797       3.8435       0.0499         0.3901

 A4           1    -3.0458     1.8059       2.8444       0.0917        -0.5110

 A5           1    -3.4584     2.1391       2.6140       0.1059        -0.4651

 A6           1    -2.9473     1.6663       3.1284       0.0769        -0.4186

 A7           1    -2.1735     1.1627       3.4947       0.0616        -0.2340

 A8           1    -2.3661     0.6587      12.9038       0.0003        -0.4865

 A9           1     1.0070     0.4880       4.2582       0.0391         0.2622

 A10          1    -1.8526     0.6746       7.5412       0.0060        -0.3949

 A11          1    -0.7923     0.5162       2.3564       0.1248        -0.1884

 A12          1    -0.0315     0.0179       3.1044       0.0781        -0.2224

Данное уравнение обеспечивает показатель конкордации равный 78,6%. Отметим, что среди предикторов, вошедших в уравнение логит-регрессии, есть несколько доминирующих.

В задачах подобного типа наиболее трудный этап заключается в отборе подмножества потенциальных предикторов. Учитывая, что по каждому из такого подмножества путём изменения алгоритма и программных опций получается по 5-10 уравнений, общее количество оцениваемых уравнений может составить сотни и даже тысячи. Так по данному массиву наблюдений было оценено несколько сот уравнений. Далее из этого множества уравнений врач может выбрать те уравнения, которые представляют наибольший интерес и могут быть полезны в качестве диагностического инструментария.

Следующий массив, созданный исследователем П.К. из Хабаровска, содержал 43  признака, список которых приведён ниже.

NUMBER="Номер наблюдения"

GRUPPA="Группы сравнения"

GR="Вид стеноза"

VAR1A="ФИО"

VAR2А="пол"

VAR3="возраст, полных лет"

VAR41="Ps (мВ) эл. активность ЖКТ базал." 

VAR42=" Ps (мВ) эл. активность ЖКТ стим."

VAR51=" Pi (мв) эл. акт. Желудок базал"

VAR52=" Pi (мв) эл. акт. Желудок стим"

VAR53=" Pi (мв) эл. акт. ДПК базал"

VAR54=" Pi (мв) эл. акт. ДПК стим"

VAR55=" Pi (мв) эл. акт. тощая базал"

VAR56=" Pi (мв) эл. акт. тощая стим"

VAR57=" Pi (мв) эл. акт. подвздошная базал"

VAR58=" Pi (мв) эл. акт. подвздошная стим"

VAR59=" Pi (мв) эл. акт. толстая базал"

VAR510=" Pi (мв) эл. акт. толстая стим"

VAR61=" Pi/Ps (%)  Желудок базал"

VAR62=" Pi/Ps (%)  Желудок стим"

VAR63=" Pi/Ps (%)  ДПК базал"

VAR64=" Pi/Ps (%)  ДПК стим"

VAR65=" Pi/Ps (%)  тощая базал"

VAR66=" Pi/Ps (%)  тощая стим"

VAR67=" Pi/Ps (%)  подвздошная базал"

VAR68=" Pi/Ps (%)  подвздошная стим"

VAR69=" Pi/Ps (%)  толстая базал"

VAR610=" Pi/Ps (%) толстая стим"

VAR71=" P(i)/P(i+1)  Жел/дпк базал"

VAR72=" P(i)/P(i+1)  Жел.дпк стим"

VAR73=" P(i)/P(i+1)  ДПК/тощ базал"

VAR74=" P(i)/P(i+1)  ДПК/тощ стим"

VAR75=" P(i)/P(i+1)  тощ/подвзд базал"

VAR76=" P(i)/P(i+1)  тощ/подвзд"

VAR82=" K ритм  Желудок стим"

VAR83=" K ритм  ДПК базал"

VAR84=" K ритм  ДПК стим"

VAR85=" K ритм  тощая базал"

VAR86=" K ритм  тощая стим"

VAR87=" K ритм  подвздошная базал"

VAR88=" K ритм  подвздошная стим"

VAR89=" K ритм  толстая базал"

VAR810="K ритм  толстая стим"

VAR77=" P(i)/P(i+1)  подвзд/толст базал"

VAR78=" P(i)/P(i+1)  подвзд/толст стим"

VAR81=" K ритм  Желудок базал"

В данном исследовании зависимым признаком являлся признак GRUPPA, имеющий 5 градаций: 1 – компенсированный стеноз, 2 – субкомпенсированный стеноз (гипермоторный вариант), 3 – субкомпенсированный стеноз (гипомоторный вариант), 4 – декомпенсированный стеноз, и 5 – контрольная группа (норма). При сравнении между собой 4-х видов стеноза были получены уравнения логистической регрессии, одно из которых приведено ниже.

Данное уравнение обеспечивало показатель конкордации равный 96,7%. Как видно из приведённой выше таблицы, в этой модели доминируют 2 предиктора.

 

  В следующем массиве, созданном исследователем М.О. из Челябинска, было 176 наблюдений с 25 признаками. Список переменных приведён ниже.

NUMBER="Номер пациента"

GR="Группы по ХПН и ЭПО"

EPO="Приём ЭПО"

VAR1A="Время наблюдения"

GRUPPA="Группа"

VAR3А="тест Люшера"

VAR4="общий уровень тревожности"

VAR5А="самочувствие"

VAR6А="активность"

VAR7А="настроение" VAR8А="уровень ситуативной тревожности"

VAR9А="тест шульте"

VAR10="впзмр"

VAR11="уфв"

VAR12="кчсм"

VAR13="упвт"

VAR14="ур сенс коорд стат"

VAR15="ур сенс коорд дин"

VAR16= "ур пр рег движ стат"

VAR17="ур пр рег движ дин"

VAR18="sdnn"

VAR19="rmssd"

VAR20="tp"

VAR21="hf"

VAR22="lf"

VAR23="vlf"

 Одной из задач исследования было сравнение группы пациентов с хронической почечной недостаточностью с контрольной группой здоровых. Ниже приведено одно из многих полученных уравнений логистической регрессии, содержащее результаты такого сравнения.

Данное уравнение обеспечивало уровень конкордации равный 89,1%.

Итак, при использовании метода логистической регрессии в реальных исследованиях всегда имеется возможность получения определённого множества моделей взаимосвязи зависимого признака, с подмножеством предикторов. Все эти модели можно анализировать и сравнивать между собой, выделяя в полученных уравнениях предикторы с максимальными абсолютными значениями регрессионных коэффициентов, и максимальными значениями показателя конкордации. В случае использования полученных моделей для повышения вероятностей положительных исходов, необходимо оценить подмножества предикторов всех уравнений, чтобы выбрать уравнения с предикторами, наиболее доступными для корректировки их значений доступными в лечебной практике медицинскими технологиями.


Далее: 2. Логистическая регрессия. Анализ массивов большой размерности

 

 

Центр БИОСТАТИСТИКА выполняет работы по статистическому анализу экспериментальных данных уже более 30 лет. В его составе исследователи России, США, Израиля, Англии, Канады и других стран. Услугами Центра пользуются аспиранты и докторанты в области медицины, биологии, социологии, психологии и т.д. (См. далее )

Отзывы заказчиков по статистическому анализу данных

«Роющая деятельность кабана». Статья в "Независимой" газете... Сравниваем средние, а также и ... В. Леонов

     Исследователям в медицине и биологии весьма большую пользу приносит сравнение не только групповых средних, но также и иных параметров. Такими новыми сравнениями являются проверки равенства дисперсий, коэффициентов корреляции, коэффициентов регрессии или векторов групповых средних, сравнение групп многомерными методами, и т.д. В статье объяснена большая ценность обнаружения не нормального распределения признака. Показано, что не нормальное распределение количественного признака, означает наличие взаимосвязей данного признака с другими признаками. Что является важнейшим аргументом по формулировке списка проверки взаимосвязей важнейших признаков проводимого исследования. Специфика других сравнений хорошо иллюстрируется различными графиками, а также наличием списка литературы из 98 книг и статей, полезных для этой тематики. Причём более половины из них имеют ссылки на доступные в интернете данные издания. По традиции очередной годовщины нашего сайта, в две последние статьи размещены ещё и иные весьма полезные ссылки..


Проценты - статистический анализ? Или проценты - арифметический анализ? В. Леонов.


23 примера оформления данных, их описания и описания целей исследования


В ноябре 2013 года сайту БИОМЕТРИКА исполнилось 16 лет. А что было раньше? И что теперь?


Примеры отличных диссертаций и статей по медицине и биологии, с нашими результатами статистического анализа

В.В. Половинкин
ТОТАЛЬНАЯ МЕЗОРЕКТУМЭКТОМИЯ — ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛЕЧЕНИЯ СРЕДНЕАМПУЛЯРНОГО И НИЖНЕАМПУЛЯРНОГО РАКА ПРЯМОЙ КИШКИ.

Н.Г. Веселовская 
КЛИНИЧЕСКОЕ И ПРОГНОСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭПИКАРДИАЛЬНОГО ОЖИРЕНИЯ У ПАЦИЕНТОВ ВЫСОКОГО СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОГО РИСКА.

О.Я. Васильцева ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, КЛИНИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И ИСХОДОВ ТРОМБОЭМБОЛИИ ЛЕГОЧНОЙ АРТЕРИИ ПО ДАННЫМ ГОСПИТАЛЬНОГО РЕГИСТРА ПАТОЛОГИИ.

В.А. Габышев 
ФИТОПЛАНКТОН КРУПНЫХ РЕК ЯКУТИИ И СОПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕРРИТОРИЙ ВОСТОЧНОЙ СИБИРИ.

М.И. Антоненко
  ГИПЕРКОРТИЦИЗМ БЕЗ СПЕЦИФИЧЕСКИХ КЛИНИЧЕСКИХ СИМПТОМОВ: ЭПИДЕМИОЛОГИЯ, КЛИНИКА, ДИАГНОСТИКА.

Н.Г. Веселовская"ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РИСКА РЕСТЕНОЗА КОРОНАРНЫХ АРТЕРИЙ ПОСЛЕ ИХ СТЕНТИРОВАНИЯ У ПАЦИЕНТОВ С ОЖИРЕНИЕМ"

М.А. Будникова АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ЧАСТОТЫ И СПЕКТРА АНОМАЛИЙ МИТОЗА, МЕЙОЗА И ЭЛЕМЕНТОВ ПРОДУКТИВНОСТИ Allium cepa L., ВЗЯТОГО ИЗ АГРОПОПУЛЯЦИЙ С РАЗНОЙ АНТРОПОГЕННОЙ НАГРУЗКОЙ ( Дипломная работа )

И.А. Бирюкова Научно - практическая работа " ФАРМАКОЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РОЗНИЧНОГО РЫНКА ГОРОДА ОМСКА"

Г.А. Попова СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПОДВИДОВ LINUM USITATISSIMUM L . В УСЛОВИЯХ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ. (диссертация на соискание учёной степени кандидата биологических наук).

А.Г. Сыркина Ретроспективный анализ эффективности и безопасности тромболитической терапии острого инфаркта миокарда у больных пожилого и старческого возраста (диссертация на соискание учёной степени кандидата медицинских наук).

В. Леонов. Цели, возможности, и проблемы использования биостатистики в доказательной медицине. Доклад на Конференции по доказательной медицине в Ереване «От доказательной медицины к доказательному здравоохранению» (24 - 26 сентября 2015 года).

Фоторепортаж с Конференции по доказательной медицине в Ереване.

Фоторепортаж с семинара по биометрике в Ереване, прошедшего после конференции по доказательной медицине (24 - 26 сентября 2015 года).

Отзывы слушателей семинара по биометрике в Ереване в сентябре 2015 г.


Новые полезные книги...

(Заказать книгу можно через издательство)

Ланг Т., Сесик М. Как описывать статистику в медицине. Руководство для авторов, редакторов и рецензентов. Пер. с англ. В.П. Леонова. 2016 - 480 с.

Петри А., Сэбин К. Наглядная медицинская статистика. Учебное пособие. 3-е издание. Пер. с англ. В.П. Леонова. 2015. - 216 с.

Банержи А. Медицинская статистика понятным языком: вводный курс. Издательство "Практическая медицина", 2014. - 287 с. Пер. с англ. В.П. Леонова.

Т. Гринхальх. Основы доказательной медицины. Издательство "ГЭОТАР-Медиа", 2015. - 336 с. 4-е издание переработанное и дополненное. Пер. с англ. Под ред. И.Н. Денисова, К.И. Сайткулова, В.П. Леонова.


Долгое прощание
с
лысенковщиной 

История науки не ограничивается перечислением успешных исследований. Она должна сказать нам о безуспешных исследованиях и объяснить, почему некоторые из самых способных людей не могли найти ключа знания, и как репутация других дала лишь большую опору ошибкам, в которые они впали.

Дж. Максвелл 

 

Функциональный кризис отечественной науки, переживаемый в последнее десятилетие, вынуждает беспристрастно анализировать основные причины этого явления [1-2, 45-47]. Последние результаты библиометрического анализа говорят о том, что вклад России в мировую науку по основным направлениям составляет уже порядка 5-8% [1-2]. По данным того же источника вклад США составляет 32-41%. 

Коммунистическая идеология, уродовавшая многие направления отечественной науки на потребу вождей, породила и такое явление, как лысенковщина. Для большинства читателей фамилия Лысенко ассоциируется с августовской сессией ВАСХНИЛ 1948 г. и разгромом генетики. Однако лысенковщину нельзя сводить только к запрету на генетику. Достигнув своего апогея в середине текущего века, и став воистину периодом средневековья в отечественной биологии и медицине, лысенковщина изуродовала и методологию этих наук, изгнав из них в частности математику, и в первую очередь статистику. Последствия этого уродства и по сей день не позволяют биологии и медицине приблизиться к статусу точных наук. В статье описаны основные этапы этого явления и особенности методологии применения статистики в биологии и медицине, полученные автором при анализе нескольких сот диссертаций и монографий а также более 1500 статей в области экспериментальной биомедицины. 

Ключевые слова: лысенковщина, биология, медицина, статистика, биостатистика, методологический кризис. 

The main stages of development of an appearance obtaining in a world science a title "lisenkovshina" are circumscribed. One of tags of this appearance is ejecting statistics from biology and medicine. The analysis of several honeycombs of thesises and monographies and more than 1500 papers on medicine and biology is conducted. The output about availability of methodological crisis in experimental biomedicine is made. The primitive level of application of statistics in Russian medicine and biology is shown. The recommendations for correction of a status quo are offered. 


Автор понимает, что поднятая им проблема достаточно обширна и не может быть полностью освещена в одной статье, содержащей лишь малую часть материалов готовящейся к изданию монографии, посвященной проблемам применения статистики в медицине и биологии. Автор будет признателен читателям, которые выскажут свой взгляд на эту проблему, а также смогут дополнить авторские материалы новыми примерами.  Обсуждаемая в данной статье проблема может быть решена только общими усилиями всех заинтересованных в этом специалистов.

Работая над этой статьей, мне довелось несколько раз встречаться с одним из ректоров медицинского вуза. Обсуждая с ним предлагаемые в статье меры, направленные на исправление этого неприглядного положения, я с изумлением услышал от него такой ответ: "Как ученый - я "За", а как ректор - "Против"! И если так мыслит и говорит ректор, доктор медицинских наук, член-корреспондент РАМН, то несложно понять отношение к этой проблеме рядовых сотрудников такого вуза. Не потому ли многие из них представлены в разделе КУНСТКАМЕРА, вместе с моим собеседником, своими диссертациями и статьями...

За те несколько лет, что прошли с момента публикации этой статьи, а также статей  "В новый век - с доказательной биомедициной"(ПОИСК, N 20 (522) 21 мая 1999) и "Куплю 500 диссертаций! (Медицинская Газета N10 за 14.02.2001)", практически ничего не изменилось. Да, в России стали писать и говорить о доказательной медицине, проводить конференции по этой тематике, а в некоторых медицинских вузах даже открыли центры доказательной медицины. Однако откроем биомедицинские журналы и диссертации, и станет ясно, что это не более чем дань моде... 

 

Материалы по науковедению

В новый век - с доказательной биомедициной



1997 - 2017.© Василий Леонов. E-mail:

Доказательная или сомнительная? Медицинская наука Кузбасса: статистические аспекты.

Отклики читателей статьи "Доказательная или сомнительная?"

Возврат на главную страницу.

Возврат в КУНСТКАМЕРУ

Т. Кун "Структура научных революций"