Яндекс.Метрика СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ ДЛЯ МЕДИКОВ

Каждый слышит то, что понимает. Гете

Статистика посещаемости БИОМЕТРИКИ

Что можно узнать о наших родственниках,
победивших в этой войне..
.
Выбрав изображение, кликните мышкой, и Вы прочитаете о том, как ...

Редактор БИОМЕТРИКИ
В. Леонов

Пишите нам на адрес

Яндекс
цитирования
Яндекс цитирования
  Городской портал tomsk.ru
25 наиболее популярных ссылок, посещаемых нашими читателями
http://www.biometrica.tomsk.ru/Leonov_Erevan_2015.pdf
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_8.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/student.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/UNESCO%202010.pdf
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz_17.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/kk.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_3.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio1.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/error.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/STAT_CARDIO_2014.pdf
http://www.biometrica.tomsk.ru/logit_9.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio7.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/potencial.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz_19.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_8.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/kamchat.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biometrica_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/zakaz_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/ftp/dict/cult/gramm.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biometrica_15.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio5.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/krasnojarsk.htm http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_3.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/logit_6.htm
 

Примеры результатов анализа данных в диссертациях по медицине и биологии
В.В. Половинкин
. ТОТАЛЬНАЯ МЕЗОРЕКТУМЭКТОМИЯ — ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛЕЧЕНИЯ СРЕДНЕАМПУЛЯРНОГО И НИЖНЕАМПУЛЯРНОГО РАКА ПРЯМОЙ КИШКИ.

Н.Г. Веселовская.  КЛИНИЧЕСКОЕ И ПРОГНОСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭПИКАРДИАЛЬНОГО ОЖИРЕНИЯ У ПАЦИЕНТОВ ВЫСОКОГО СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОГО РИСКА.

О.Я. Васильцева. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, КЛИНИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И ИСХОДОВ ТРОМБОЭМБОЛИИ ЛЕГОЧНОЙ АРТЕРИИ ПО ДАННЫМ ГОСПИТАЛЬНОГО РЕГИСТРА ПАТОЛОГИИ.

В.А. Габышев.  ФИТОПЛАНКТОН КРУПНЫХ РЕК ЯКУТИИ И СОПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕРРИТОРИЙ ВОСТОЧНОЙ СИБИРИ.


Последние отзывы на проведённый анализ данных

Надинская М.Ю., к.м.н., доцент кафедры пропедевтики Первого МГМУ им.И.М.Сеченова.
С сайтом www.biometrica.tomsk.ru  я познакомилась около 10 лет назад, когда в России начали широко обсуждать «доказательную медицину». На этом сайте о «доказательной медицине» не только говорили, но и предлагали её «делать», проводя современный статистический анализ данных исследований. Некоторое время назад мне представилась возможность принять участие в этом процессе. Выслала свою Базу данных и её описание в соответствии с представленными на сайте образцами, и в тот же день получила приглашение обсудить через Скайп возможности статистического решения задач моего исследования...

Левашёва Светлана Владимировна, аспирант Башкирского Государственного Медицинского Университета, г. Уфа.
Нужна грамотная и быстрая обработка материала для диссертации? Даже не сомневайтесь – Вам сюда! До обращения в Центр «БИОСТАТИСТИКА» я уже делала попытку обработать собранные мною данные (у практикующего статистика). В итоге получила результаты, о значениях которых мне так и не было дано внятного ответа... 
 

Коровкина Анна, врач-стоматолог, г. Калиниград.
Добрый день, уважаемые коллеги! Из всех прочитанных отзывов я поняла, что буду «первой» из профессии стоматологов. Знакомство c Леоновым Василием Петровичем произошло думаю не случайно, потому как до сих пор не могу остановится в написании научных трудов. Сайт БИОМЕТРИКА открыл для меня безграничные возможности статистической обработки данных и внедрение их в клиническую практику...

В.А. Габышев, Институт биологических проблем криолитозоны СО РАН, Якутск.
Работая над докторской диссертацией, я постепенно пришел к убеждению, что мне необходимо применить современные статистические методы. Материал для своей работы собирал много лет, получился серьёзный массив данных о флористическом, ценотическом составе фитопланктона рек Восточной Сибири, о гидрохимии и других параметрах среды...

Хван Н.В., Алматы, Казахстан Уважаемые диссертанты! Хочу поделиться своим опытом сотрудничества со специалистами Центра «Биостатистика».

Гражданкина Д.В., НГМУ, Новосибирск
. Работаю я ассистентом кафедры эндокринологии Новосибирского медуниверситета. Вопрос о том, как и кому выполнять статистический анализ данных для диссертаций, статей по медицине, волновал меня довольно давно...

Веселовская Н.Г., Алтайский кардиоцентр, Барнаул. Хочется поделиться своими впечатлениями от работы с центром БИОСТАТИСТИКА. Итак, это не первое моё сотрудничество с центром. В 2006 г центром БИОСТАТИСТИКА был проведён анализ материала, который вошёл в мою кандидатскую диссертацию...  

Поддубная О.А., доктор медицинских наук, доцент кафедры Восстановительной медицины, физиотерапии и курортологии Сибирского Государственного медицинского университета

Медянникова И.В., кандидат медицинских наук, ассистент кафедры акушерства и гинекологии Омской государственной медицинской академии

Крупская Ю.А. (Ростов-на-Дону)

Чекмарев А.С., аспирант кафедры дерматовенерологии, микологии и косметологии РМАПО, член совета студентов медицинских и фармацевтических ВУЗов при Министерстве Здравоохранения и Социального развития России (Москва)

Максимова С.С., с.н.с. НИИ здоровья, Якутск


Новые отзывы по дистанционному обучению статистике

Сафонова В.Р., Ханты-Мансийская госмедакадемия, кафедра нормальной и патологической физиологии 

Ванинцева Н.Н. Санкт-Петербург 

Бурмистрова Т.Г., лаборатория нарушений сердечного ритма РНПЦ Кардиология, Минск.

Карчевская К.В., Федеральный центр сердечно-сосудистой хирургии г. Пенза


Петри А., Сэбин К. Наглядная медицинская статистика. Учебное пособие. 3-е издание. Пер. с англ. В.П. Леонова. 2015. - 216 с.
Предыдущие издания оригинала этой книги были опубликованы в 2000, 2005 и 2009 гг. Третье издание книги, как и два предыдущих, имеет целью донести до читателя основные понятия и принципы медицинской статистики, которые достаточно широко используются зарубежными медиками и биологами.

Леонов В.П. "Статистика в кардиологии. 15 лет спустя". Журнал "Медицинские технологии. Оценка и выбор", 2014, №1, с. 17-28.

Отзывы читателей обзора "Статистика в кардиологии. 15 лет спустя".

Реалии кардиологической науки в Российском кардиологическом научно-производственном комплексе. Читайте приказы ВАК № 353/нк, № 354/нк, № 355/нк об отказе в выдаче дипломов кандидата наук.

Доклад ЮНЕСКО по науке 2010 г.

Балакшина Н.Г., Кох Л.И., Леонов В.П. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИСХОДОВ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ ГНОЙНЫХ ВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ПРИДАТКОВ МАТКИ

ГОСТ Р 50779.10-2000 «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения», М.: Госстандарт России.

БИОМЕТРИКЕ - 15 лет! А что было раньше? И что теперь?  Леонов В.П.
15 лет... Возраст немалый... Как появился наш сайт? И стал ли он популярным?
Первоначально наш сайт был разделом на сайте Доктор.Ру, который был создан в Хабаровске. Вот как выглядел этот раздел, например, 20 июля 2001 года. Поскольку в те годы скорость передачи информации в интернете была невысокая, то для облегчения доступа к материалам БИОМЕТРИКИ мы открыли "зеркала" (копии) в таких городах, как Томск, Владивосток, Москва, Киев. В дальнейшем, когда сайт Доктор.Ру переехал в Москву, был сделан отдельный хостинг БИОМЕТРИКИ в Томске. Со временем необходимость наличия "зеркал" сайта в других городах отпала, и БИОМЕТРИКА осталась в Томске. Читатели БИОМЕТРИКИ в своих письмах часто задают вопрос о том, каковы были мотивы создания этого сайта? Чтобы немного рассказать об этом, вернёмся на 27 лет назад, в прошлое.

Применение методов статистики в кардиологии (по материалам журнала "Кардиология" за 1993-1995 гг.). Леонов В.П. Кардиология, 1998, № 1, с. 55-58. Леонов В.П. Общие проблемы применения статистики в биомедицине, или что разумнее: ДДПП или ДППД? 

Международная конференция по доказательной медицине в Ереване (18 - 20.10.2012)

В 2012 году исполнилось 10 лет со дня создания "Армянского медицинского реферативного журнала". В связи с этой датой главный редактор АМРЖ Рубен Ованесян организовал международную конференцию "Доказательная медицина в Армении: миф или реальность?". Конференция прошла в Ереване 18-20.10.2012. Ниже мы приводим материалы этой конференции

Ереванская фото-биометрика. Фоторепортаж о конференции в Ереване.
Ереванская Декларация.   YEREVAN DECLARATION.
Программа конференции. Доказательная медицина в Армении: вчера, сегодня, завтра…
Рубен Ованесян. Этические и методологические основания для основных лекарственных программ.
В.В. Власов. Президент общества специалистов доказательной медицины. Systematic reviews: a synthesis of trials or a trail of syntheses? Збыш Федорович (Zbis Fedorovicz). Проблема институционализации доказательной медицины. Бащинский С.Е., издательство Медиа Сфера Семиология, клиническая эпидемиология и доказательная медицина. Н.А. Зорин. Московское отделение ОСДМ. Современная клиническая публикация: - стандарты публикации, - дизайн исследования, - институт авторства, - конфликт интересов. Воробьев К.П. Украина, Луганск. http://www.vkp.dsip.net   Методология обсервационных исследований: достоверность и обобщаемость результатов. Климова Т.М. НИИ здоровья Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Мастер-класс. Збыш Федорович (Zbis Fedorovicz)  Программа профилактических осмотров: основания включения в программу скрининговой технологии. Е.Н. Новичкова. Центр доказательной медицины, кафедра семейной медицины ММА им. И.М.Сеченова 

Зачем нужна статистика в доказательной медицине?  В. Леонов. Армянский медицинский реферативный журнал, 2012, вып. 9, с. 184-193.

Почему и как надо учить медиков статистике?
В. Леонов.

От идеальной модели к реальной клинической практике. Круглый стол с острыми углами. Н.А. Зорин. Московское отделение ОСДМ.

Конфликты интересов в медицине. Управление конфликтом интересов с использованием принципов доказательной медицины. Воробьев К.П. Украина, Луганск. http://www.vkp.dsip.net

Принятие клинического решения на основе принципов научно-обоснованной медицины: идеальная модель и текущая клиническая практика. Воробьев К.П. Украина, Луганск. http://www.vkp.dsip.net

 

МАТЕМАТИКА

Энциклопедия Математика-М. 
Большая Российская энциклопедия, 
1998, 846 стр.
А. Н. КОЛМОГОРОВ

СОДЕРЖАНИЕ:

I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой

II. История математики до 19 века 

1. Зарождение математики 

2. Период элементарной математики 

3. Период создания математики переменных величин

III. Современная математика

1. Расширение предмета математики 

2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики

3. История математики в 10 веке и начале 20 века 

IV. Заключение 
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ

Математика (греч. matein - знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

“Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное” (Э н г е л ь с Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше определение М. наполняется всё более богатым содержанием.

Математика и другие науки. Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально область применения математич. метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математич. метода в различных случаях различны. Никакая определенная математич. схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлении, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, по укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математич. метод отступает на задний план; в этом случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математич. схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математич. исследования, в частности создания специальной символич. записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич. метода.

Типичным примером полного господства математич. метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их “материальными точками”. Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае n==3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математич. метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математич. аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математич. теории, а в выборе предпосылок для математич. обработки и вистолковании результатов, полученных математич. путём.

На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность математич. метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классич. образцом может служить соотношение между макроскопич. теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому дифференциальному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопич. случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопич. перемещений нам неизвестны. Однако математич. теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологич. науках математич. метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математич. метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл. обр. через кибернетику. Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной науки — математич. статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что математич. метод часто отступает на задний план.

Математика в техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математич. методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к технич. проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич. работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технич. проблем. В связи с возможностями, к-рые открыли ЭВМ для решения практич. задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретич. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая проблемы использования атомной энергии и космич. исследования.

II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 ВЕКА

В предлагаемой далее периодизации истории М. даётся только её глобальная характеристика, относящаяся на ранних стадиях к Европе, Азии и Северной Африке и не учитывающая ни региональные особенности, иногда довольно существенные, ни частое отсутствие синхронности прогресса математич. знаний в различных регионах и странах.

Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математик и, а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики за исключением отдельных исследований Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых, могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитич. геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период м а т е м а т и к и п е р е м е н н ы х величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание Н. И. Лобачевским его “воображаемой геометрии”, получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение М. столь важные черты, что М. в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому пер н-оду современной математики.

Эта глобальная характеристика четырёх основных периодов будет дополнена в последующем изложении.

1. Зарождение математики.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии ^^ начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к нач. 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах;

эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н. э. состояние египетской М. того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представление дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби 2/3. Удвоение и раздвоение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа пи=3. иногда же значительно более точному. Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской М. уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков

См. также Папирусы.

Вавилон. Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилоне, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математич. тексты охватывают период от начала 2-го тыс. до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греч. М. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской М., дальнейшие тексты, несмотря на наличие нек-рых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилоняне времён династии Хаммурапи получили ещё от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционныйпринцип со знаками для 1 и 60, а также 10 (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. В более позднее время появляется и особый знак для обозначения отсутствия в данном числе промежуточных разрядов. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению (такой приём встречается иногда и в египетских текстах). В более поздних текстах вычисление обратных чисел, отличных от 2a , Зb , 5g, т. е. не выражающихся конечной шестидесятеричной дробью, иногда доводится до восьмого шестидесятеричного знака; возможно, что при этом была обнаружена периодичность таких дробей;

напр. в случае 1/7. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, кубов и др. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, к-рые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степеней.

Задачи на квадратные уравнения возникли, вероятно, путём обращения чисто практич. геометрич. задач, к-рое во многих случаях свидетельствует о существенном развитии отвлечённой математич. мысли. Такова, напр., задача на определение стороны прямоугольника по его площади и периметру. Впрочем, эта задача не приводилась к трёхчленному квадратному уравнению, а решалась, по-видимому, с помощью преобразования, к-рое мы бы записали (x+y)2=(x-y)2+4xy, что приводит почти сразу к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Другая задача, связанная с т. н. теоремой Пифагора, известной в Вавилоне с древнейших времён, на определение катетов по данным гипотенузе и площади, представлялась трёхчленным уравнением с единственным положительным корнем. Задачи подбираются так, чтобы корни были всегда целые положительные и по большей части одни и те же. Это показывает, что сохранившиеся глиняные таблички — учебные упражнения; преподавание было, по-видимому, устным. Но вавилоняне знали и приёмы приближённого вычисления квадратного корня, напр. длины диагонали квадрата с данной стороной. Таким образом, алгебраич. компонента вавилонской М. была значительной и достигла высокого уровня. Наряду с этим вавилоняне умели суммировать арифметич. прогрессии, по крайней мере простейшие конечные геометрич. прогрессии и даже знали правило суммирования последовательных квадратных чисел, начиная с 1.

Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраич. методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистич. эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются нек-рые правильные многоугольники, вписанные в круг.

См. также Клинописные математические тексты.

2. Период элементарной математики.

Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных .приёмов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематич. развития её основных понятий и Предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилоне. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематич. учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием М. Ещё в М. древнего мира на материале изучения тригонометрич. функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, напр., представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + °°, и тригонометрич. функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Ф. Виета). Греч. натурфилософы и математики начиная с 7—6 вв. и вплоть до 3 в. до н. э. подходят к идее бесконечности и затем к приёмам анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после попыток целого ряда средневековых учёных возобновляется лишь в эпоху

Возрождения в кон. 16 в. Таким образом,; весь период до 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М.

Начало рассматриваемого периода развития М. (греческая, эллинистическая и римская М.) относится к эпохе рабовладельч. общества, вторая же половина —- к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Зап. Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греч. и эллинистич. М. в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехнич. сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезич. работах и более практич. тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона М.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской М. оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к М. со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.

Древняя Греция. Развитие М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже с 7—6 вв. до н. э. М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математич. сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами). Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греч. государств,, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к необходимости отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.

Первоначально теоретич. М. развивалась в рамках натурфилософских систем, причём ранее всего в греч. поселениях на побережье Малой Азии (Иония), средиземноморских островах и на Аппенинском полуострове. Связь с более ранними восточными цивилизациями несомненна, хотя в деталях прослежена быть не может. Сами греки считали себя в области арифметики учениками финикийцев, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли, начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса Милетского (Иония) и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 1+3+5+...4-(2n-1)=n2, изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек (“пифагоровых чисел”, т. е. троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a2+b2=c2). Возможно, что эти знания восходят к Вавилону. В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6—5 вв. до н. э., также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского, к-рых приписывается первый систематич. учебник геометрии. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э.— разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания.

Принципиально новым шагом вперёд явилось возникновение в натурфилософских школах G—5 вв. до н. э. идеи бесконечности, в различных формах получившей применения в М. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший первым вариантом неделимых метода, одного из исходных пунктов исчисления бесконечно малых. Однако логич. трудности, присущие понятиям бесконечности н нашедшие выражение в апориях Зенона Элейского (5 в. до н. э.), привели к заключению, что результаты, полученные с помощью метода неделимых, нельзя считать строго доказанными. Стандартным приёмом измерения различных площадей п объёмов, не поддающихся определению элементарными средствами, стал исчерпывания метод, состоящий в приближении искомой величины сходящимися к ней снизу и сверху последовательностями известных величин. Так, площадь круга аппроксимировалась последовательностями вписанных и описанных правильных многоугольников с неограниченно возрастающим числом неограниченно уменьшающихся сторон. Возможно, что толчок в этом направлении сообщили первые попытки решить задачу квадратуры круга, вписывая в него правильные многоугольники, получающиеся из вписанного треугольника или квадрата с помощью удвоения сторон: для каждого такого многоугольника можно построить равновеликий квадрат с помощью циркуля и линейки. Рассматривая круг как многоугольник с бесконечным числом сторон философ Антифонт (5 в. до н. э.) сделал вывод, что можно построить с помощью тех же средств п квадрат, равновеликий кругу. Некорректность такого умозаключения была вскоре установлена.

Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского, разработавшего общую теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объёме пирамиды, удовлетворявшее возросшим требованиям к строгости математич. выводов. По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания, представляющего собой, по существу, раннюю форму теории пределов. В стороне от главного течения М. в 4 в. до н. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архнта Тарептского — полководца и автора одного из решений задачи об удвоении куба.

Эллинистическая п римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь в обстановке объединения различных мировых культур, больших строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллйнистич. и римском мире, Александрия с её “музеем”, являвшимся первым научно-псследоватольским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

Сложные гидротехнич. сооружения (напр., архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка точных астрономич. измерений и вычислений (Юлианское приближение к длине года, равное 3651/4 дней), наконец, развитие механики и оптики — всё это поставило перед М. множество новых задач. 3 в. до н. э. явился веком плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития М. вширь с глубиной теоретич. мысли. В частности, возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств.  Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть “нестрогая” М., было позднее надолго забыто.

В своих “Началах” Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. “Начала” Евклида). Вместе с тем в “Началах” же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Наконец, “Начала” содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволившую в геометрич. форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В стиле этой же “геометрической алгебры” Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. Из геометрич. работ, не вошедших в “Начала”, наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание Аполлонием Пергским законченной теории конич. сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. В ряде случаев вычисления Архимеда равносильны применению интегральных сумм Дарбу и отысканию их пределов; наряду с интеграционными приёмами у него имеются и зачатки дифференциальных методов, применённые при построении касательной к носящей его имя спирали. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствования математич. аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в.— 1-я пол. 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звёзд были отвергнуты и на долгие века утвердилась геоцентрич. система конечной вселенной, подробно изложенная в “Альмагесте” Птолемея (1—2 вв.). В М. зачатки анализа бесконечно малых, содержащиеся в эвристич. приёмах Архимеда (сообщённых им в специальном сочинении “О методе” с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего серьёзного развития.

Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело влиятельных философов 4 в. до н. э. (как, напр., Аристотеля) к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в общей теории пропорций Евдокса и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых “Начал” лишь н чрезвычайно стеснительной форме “геометрической алгебры” отрезков, площадей и объёмов.

Значительные успехи в этом направлении можно отметить в “Метрике” Герона Александрийского (вероятно, 1 в.), известного своими работами по геодезии, составившими основу грандиозной практич. деятельности римских геодезистои. Это замечательное сочинение, являющееся первым дошедшим до нас самостоятельным изложением приёмов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, т. н. формулу Герона (известную, впрочем, ещё Архимеду). для площади треугольника (под знаком корня произведение четырёх отрезков — выражение, геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается лишь в “Арифметике” Диофанта Александрийского (вероятно, 3 в.), посвящённой в основном решению уравнений. Здесь появляются первые известные нам начатки алгебраич. символики, формулируется правило перенесения членов из одной части уравнения в Другую, производится умножение обеих частей уравнений на одно и то же выражение, даются общие приёмы решения квадратных уравнений, решаются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределённые уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраич. выражений употребляет правило для умножения “отнимаемых” чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность гео-метрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до н. э.) первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич. тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и Птодемеем. Птолемею же принадлежит инициатива систематич. употребления широт и долгот для обозначения географич. мест, что явилось, по-видимому, первой формой употребления системы координат.

В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (3 в.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта,;

включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.

Китай. Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам обнаруживает уже “Математика в девяти книгах”, составленная по более ранним источникам во 2—1 вв. до н. э. В этом сочинении, положившем начало прогрессу М. в Китае вплоть до 14 в., описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач решается так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (3 в.) и более полно Цзинь Цзюшао (13 в.) дают изложенное на призерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Как правило, впрочем, в задачах вычислительной геометрии пользовались приближённым значением л, равным 3. Примечательно, что наряду с этим был сформулирован т. н. принцип Кавальери, применённый к сравнению объёма тара диаметра d с объёмом тела, заключённого между поверхностями двух вписанных в куб d3 цилиндров со взаимно перпендикулярными осями. Ранее объём этого тела, равный (2/3)d, определил Архимед, вывод к-рого не сохранился. Вопрос о возможных связях между М. Др. Китая и Др. Греции, а также Вавилона остаётся открытым.

Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяотуна (7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математикой 13-14 вв. Цзинь Цзюшао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Шицзе.

Индия. Наиболее ранние сведения о М. в древней Индии встречаются в литературе 7—5 вв. до н. э., содержащей правила построения алтарей. Уже в это время здесь, как и в Др. Греции и ранее в Вавилоне, была известна и применялась теорема Пифагора. Расцвет индийской М. относится к 5—12 вв. (наиболее известны индийские математики Ариабхата I, Брахмагупта, Бхаскара II). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной позиционной системы счисления и систематич. употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся “Индии цифр, называемых теперь арабскими”, не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение.

Брахмагупта дал общее правило решения квадратных уравнений (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Бхаскара указал на двузначность квадратного корня, занимался исследованием иррациональных выражений, делал преобразования типа владел приёмами освобождения дроби от иррациональности в знаменателе, решал нек-рые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брахмагупта и Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределённого уравнения первой степени с двумя неизвестными, а также уравнений вида: ax2+b=cy2 и ху=ах+bу+с. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 вв. учёные Ср. Азии, Бл. Востока, Сев. Африки и Пиренейского п-ова пользовались гл. обр. арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своем дворе в обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными по точности астрономич. наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.

В истории науки длительное время господствовало мнение, что роль “арабской культуры” в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира н Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и, в частности, математиков, живших на территории современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й пол. 9 в. Мухаммед бен Муса аль-Хорезми, работавший в багдадском “Доме мудрости”, своего рода академии, написал сочинение об “индийском счете”, оригинальный текст к-рого до сих пор не обнаружен, но к-рое известно по неполному латинскому переводу, а также по обработкам, сделанным на Пиренейском п-ове в 12 в. Это сочинение явилось основным источником распространения десятичной позиционной системы счисления на Востоке и затем в Европе. Тот же аль-Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин “алгебра” производят от начала названия сочинения аль-Хорезми “Аль-джебр”, по к-рому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Вскоре после аль-Хорезми впервые начинают систематически рассматриваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени. Среднеазиатский учёный Бируни (кон. 9 в.— 1-я пол. 10 в.) привёл задачу о нахождении стороны правильного девятиугольника к решению уравнения x3+l=3x и получил приближённое решение этого уравнения в виде шестидесятеричной дроби. Задача о построении правильного семиугольника была сведена к решению уравнения xз+1=2x+x2. Ибн аль-Хай-сам из Ирака (кон. 10 в.— нач. 11 в.) свёл одну из задач геометрич. оптики к решению уравнения четвёртой степени.

Омар Хайям (11—12 вв.) систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Омар Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как восходящие к греч. М. геометрические (при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Ср. Азии и Ел. Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятеричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятеричным делением углов в астрономии). На этой основе ими была создана и единая система обозначения шестидесятеричных целых и дробных чисел: запись

43; 0; 16; +8; 37

(знак + здесь отделяет целые разряды от дробных) обозначала число 

43.602+0.60+16+8/60+37/602.

Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этой системой, написал сочинение о способах извлечения корней третьей, четвёртой и пятой степеней. Омар Хайям в недошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения корней с любым натуральным показателем; позднее их описал Насирэддин Туей (13 в.), сформулировавший словесно формулу бинома Ньютона для натуральных показателей и правило образования биномиальных коэффициентов. В связи с астрономия, и геодезич. работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани (кон. 9 в.— нач. 10 в.) ввёл в употребление тригонометрич. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрич. функций, он же выразил словесно алгебраич. зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10 с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферич. треугольников. Насирэддин Туей достиг известного завершения разработки сферич. тригонометрии, систематически рассмотрев все шесть случаев решения сферич. треугольников; сам он впервые нашёл решение двух труднейших случаев (определение углов по

рем сторонам и сторон по трём углам). Насирэддин Туей перевёл на арабский зык и комментировал “Начала” Евклида; комментарии к “Началам” составил также Омар Хайям. Их занимает принципиальный вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Собственные их сочинения написаны с большим вниманием к изложению строгих доказательств теорем. Принципиальное значение име-т возникновение у Омар Хайяма и Насирэддина Туей ясной концепции действительного (положительного) числа. Напр., о произвольном отношении величин (соизмеримых или несоизмеримых) Насирэддин Туей писал: “каждое из тих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов”.

В заключение следует специально остановиться на достижениях сотрудника Улугбека аль-Каши (нач. 15 в.). Аль-Каши дал систематич. изложение арифметики десятичных дробей, к-рые справедливо считал более доступными, чем шестидесятеричные; при этом он подробно разработал приёмы своих предшественников. В “Трактате об окружности” (ок. 1427) аль-Каши, определяя периметры вписанного и описанного 3*228-угольников, нашёл л с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения кубич. уравнений, к-рый применил к столь же точному вычислению sin l°.

Западная Европа до 16 века. 12—15 вв. являются для зап.-европейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значительных новых математич. фактов, общий характер европейской математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и арабских математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои “Книгу об абаке” (1202) и “Практику геометрии” (1220), на высоком научном уровне излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретической научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [Фома Брадвардин (1-я пол. 14 в.) и Н. Орем (сер. 14 в.)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [Н. Шюке (кон. 15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. В Оксфордском и Парижском университетах [Р. Суайнсхед, Суайнскод (сер. 14 в.), Н. Орем и др.] развиваются первые элементы теории изменения текущих величин, как функций времени и их графич. представление; впервые объектом изучения становится неравномерное движение и вводятся понятия мгновенной скорости и ускорения. Одним из результатов является открытие основных свойств равномерноускоренного прямолинейного движения, однако вне связи с проблемой падения тяжёлых тел. В рассмотрение вводятся нек-рые неограниченно протяжённые площади конечной величины. Важным средством исследования служит при этом сходящаяся бесконечная геометрич. прогрессия. С другой стороны, замечательным открытием Н. Орема является точное доказательство расходимости гармонич. ряда, вновь открытое в 17 в. Эта теория, излагавшаяся во многих университетах Европы и книгах, оказала влияние на формирование М. и механики таких учёных 17 в., как Дж. Непер, Г. Галилей и др. вплоть до И. Ньютона. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрич. таблиц, вычисленных Региомонтаном (И. Мюллером) с точностью до седьмого знака. Значительно совершенствуется математпч. символика. Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в соч. “Цветок” (ок. 1225), в к-ром собраны предложенные ему и блестяще решённые им задачи, доказал неразрешимость уравнений x3+2x2+10x=20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей.

Западная Европа в 16 веке. Этот век был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и Востоком. Так было и в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направлениях европейская наука ещё отстаёт от достижений, среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем 17 в. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо Н. Тартальей, ок. 1530) и четвёртой (Л. Феррари, 1545) степеней, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый -случай, в к-ром действительные корни уравнениявыражаются комплексно. Это заставило Дж. Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с введёнными, им комплексными числами; основные правила действий с комплексными числами вскоре систематически изложил Р. Бомбелли (1572). Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета — основателя настоящего алгебраич. буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначились лишь неизвестные). Из других достижений 16 в. следует указать разложение квадратных корней в непрерывную дробь (Р. Бомбелли, 1572), первое точное аналитич. выражение для л в виде бесконечного произведения (Ф. Виет, 1593), определение тригонометрич. функций для аргумента, изменяющегося до +оо (Ф. Виет, 1594). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 в., излагается А. Дюрером (1525). Ф. Виет применил алгебраич. методы к исследованию возможности гео-метрич. построений, являясь также тонким мастером в синтетич. решении задач на построение [он восстановил (1600), напр., утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных]. М. Штифель (1544) вновь открыл закон образования биномиальных коэффициентов, а С. Стевип разработал (1585) правило арифметич. действий с десятичными дробями.

Россия до 18 века. Математич. образование в России находилось в 9—13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост. и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 вв. в связи с укреплением Русского государства и экономич. ростом страны значительно выросли потребности общества в математич. знаниях. В кон. 16 в. и особенно в 17 в. появились многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в к-рых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).

В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите,—славянская нумерация, к-рая в русской математич. литературе встречается до нач. 18 в., но уже с кон. 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Наиболее древнее, известное нам математич. произведение относится к 1130 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологич. расчётам, к-рые показывают, что в то время на Руси умели решать, сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математич. части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметич. рукописи кон. 16—17 вв. содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметич. операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практич. использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался т. н. дощаной счёт — прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметич. часть знаменитой “Арифметики” Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич. рукописях, в большинстве своём преследовавших также практич. цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойстваподобных треугольников и теорема Пифагора.

3. Период создания математики переменных величин

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. “Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...” (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к основным понятиям математического анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразование сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше, с созданием н 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, ас другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображения функциональных зависимостей. Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части “чистой” М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, напр., механике) “прикладной” М., применяющей результаты “чистой” М. и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрич. фигур и геометрич. преобразований. На следующем этапе развития такое подчинённое положение геометрии было вновь устранено.

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения Р(x)==0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл Ж. Д 'Аламбера (и почти одновременно и независимо Л. Эйлера) к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству “основной теоремы алгебры” о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. Достижения “чистой” алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17—18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа типично лишь для более позднего времени (2-я пол. 19 в.— 20 в.). В 17—18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в к-рой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, причём более всего И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 в. одним из основных центров научных математич. исследований становится также Петербургская академия наук, где работает ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования в 19 в.

17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественныхнаук — к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер законы движения планет (1609, 1610), И. Ньютон — закон всемирного тяготения (1687) и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, X. Гюйгенс и Р. Гук — на основе волновой теории]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. выдвигает идею универсальности математич. метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии М.

Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.

Математич. достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов. Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614, обосновывает их построение не ссылкой на давно известные свойства арифметич. и геометрич. прогрессий, а рассматривает непрерывное “течение” логарифма при изменении числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебраич. выражением или геометрич. построением. В 1637 Р. Декарт публикует свою “Геометрию”, содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических — по “родам” (к роду т он относит в современной терминологии кривые порядков 2т — 1 и 2т. В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(x)=0 точками пересечения кривой у=Р(х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты, и слова “производная” или “дифференциал” остаются ещё не произнесёнными. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) метод неделимых, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна основных понятий анализа бесконечно малых представляется в мистич. форме неразрешённого противоречия (напр., между объёмом тела и совокупностью не имеющих объёма плоских сечений, при помощи к-рых этот объём должен быть определён). Неудивительно поэтому, что приёмы И. Кеплера и Б. Кавальери подвергались критике (1635—41) со стороны П. Гульдина, предпочитавшего пользоваться классич. методом исчерпывания. Однако свободное употребление бесконечно малых одерживает окончательную победу в работах по определению площадей (“квадратур”) П. Ферма, Б. Паскаля и Дж. Валлиса. Так, в гео-метрич. форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.

Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессий, возникающих из представления обыкновенных дробей в виде периодических десятичных, изучил Дж. Валлис

(1685). Н. Меркатор получил разложение в степенной ряд 1n(1+x). И. Ньютон вывел формулу бинома для любого показателя, интегрируя разложение (1 — x2)-1/2 получил разложение arcsin x: и, наконец, нашёл степенные ряды обратных к y=ln(1+x) и y=arcsin x функций соответственно. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Грегори, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считали нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определённостью их признавал А. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое уравнение n-й степени имеет п корней (что, как известно, справедливо лишь в комплексной области и при надлежащем учёте кратности корней).

К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682—86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665—66. “Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов” И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи И. Барроу и Дж. Кол-линзу и получил широкую известность среди английских математиков. “Метод флюксий” — сочинение, в к-ром И. Ньютон дал систематич. изложение своей теории,— был написан в 1670—71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона — Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия “флюенты” (переменной величины) и её “флюксии” (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения.

Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математич. естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчислении являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие “момента”, стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и др. Здесь создаётся современный стиль математич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях или ежегодных “Записках” академий наук и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных. Очень большую роль в распространении научной информации играет переписка между учёными.

Кроме аналитич. геометрии развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия [в области последней следует отметить, к частности, введение понятия радиуса кривизны у И. Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент у X. Гюйгенса (1673) и т. п.1. В 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, гл. обр. в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), развил целую систему представлений о бесконечно удалённых элементах, ввёл понятие инволюции и т. д. Теория конич. сечений разрабатывается с проективной точки зрения Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лаиром (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел — формулировку принципа математич. индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки, разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [П. Катальди (1613), Д. Швентер (1617—18), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопределённых коэффициентов (Р. Декарт, 1637); формулировку т. н. теоремы Эйлера о многогранниках (Р. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать ещё на построение В. Шикардом (1623), Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практич. последствий.

18 век. В нач. 18 в. общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном новизной метода, создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К нач. 18 в. развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло того уровня, при к-ром дальнейшее продвижение вперёд стало требовать в первую очередь искусства в овладении математич. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 в. J1. Эйлер является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а Ж. Лагранж, быть может, уступая J1. Эйлеру s количестве и разнообразии решённых задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для французской матема-тич. школы 2-й пол. 18 в., тесно связанной с. большим философским движением французских просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата математич. анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматич. развития, в безошибочность математич. выкладок даже тогда, когда в них входят символы, лишённые смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам лишённые непосредственного смысла математич. выражения, не опираясь ни на наглядность, ни на к.-л. оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону всё больше склоняется Г. Лейбниц, к-рый в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о “чудесном вмешательстве идеального мира” и т. п. Более реалистически настроенный Л. Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами [напр., по Л. Эйлеру, +1— -1+2-6+24-120+...+((-1)n) n!+... = 0,5963475922...] как эмпирич. факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий (позднее методы Л. Эйлера суммирования расходящихся рядов в уточнённом виде вошли в современную М.). Л- Эйлер и К. Мак-лорен начинают всё же работу по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых. Наиболее последовательным в стремлении классич. строгости и отчётливости из математиков 18 в. представителем этой тенденции является Ж. Д'Аламбер. В частности, по вопросу о логич. основах анализа Ж. Д'Аламбер, развивая воззрения И. Ньютона и нек-рых его последователей, сформулировал в общих чертах близкие современным взгляды о переменных бесконечно больших и бесконечно малых величинах, о производной как конечном пределе отношения двух бесконечно малых и т. д. В России с критикой различных способов обоснования анализа выступил С. Е. Гурьев в “Опыте об усовершении элементов геометрии” (1798). Однако систематич. проведение логич. обоснования анализа было осуществлено лишь в 19 в. Поэтому Ж. Лагранж, не удовлетворённый незаконченными концепциями своих современников, сделал попытку освободиться сразу от всех трудностей, связанных как с самим понятием функции, так и с обоснованием анализа бесконечно малых, став на чисто алгебраич. точку зрения: он заменил непосредственное рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и свёл таким образом дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие операции анализа к алгебраич. действиям с коэффициентами рядов.

Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, притом нередко ^просто любителями М. (как Р. Декарт, П. ферма, Б. Паскаль и др.), то в 18 в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в:— это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич. способностями, с быстро развивающейся академич. карьерой (Л. Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашён адъюнктом в Петерб. академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет — председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж— сын французского чиновника, 19 лет — профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математич. класса Берлинской академии наук; П. Лаплас — сын французского крестьянина, 22 лет — профессор военной школы в Париже, 36 лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются и сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитич. механики, П. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и т. д.

М. в 18 в. обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематич. науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубл. в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубл. в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлёк (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитич. теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубл. в 1744) иррациональность е и е3, а И. Ламберт (1766, опубл. в 1768) — иррациональность я. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители (известные ранее Г. Лейбницу, не опубликовавшему своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры занимались П. Лаплас и А. Вандермонд. И.Ньютон, Л.Эйлер и Э.Безу развивали теорию делимости многочленов и теорию исключения. О первых (неполных) доказательствах существования у каждого алгебраич. уравнения корня вида А+Вsqrt(-1) (Ж. Д'Аламбер, Л. Эйлер) уже говорилось. Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы к виду А+Вsqrt(-1). Формулы Р. Котеса, А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрич. функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. Л. Эйлер применял комплексные переменные к вычислению нек-рых специальных интегралов, основываясь на дифференциальных уравнениях, к-рые связывают действительную и мнимую части функции комплексного переменного; ещё раньше к этим уравнениям пришёл на другом пути в работах по гидромеханике Ж. Д'Аламбер. Те же уравнения были получены позднее О. Коши и Б. Риманом, Л. Эйлер же применил в работах по картографии конформные отображения. Тем самым были сделаны первые шаги в общей теории аналитич. функций. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления. Ж. Лагранж развивал символич. исчисление, рассматривая положительные и отрицательные степени операторов ? и d; П. Лаплас дал общие методы решения разностных уравнений. Б. Тейлор открыл (1715) формулу разложения произвольной функции в степенной ряд, известную, впрочем, ранее Дж.Грегори и И. Ньютону, но ими не опубликованную. У исследователей 18 в., особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Ж. Д'Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Л. Эйлер, Ж. Лагранж и особенно А. Лежандр заложили основы исследования эллиптич. интегралов — первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. И. Бернулли, Я. Риккати, Д. Бернулли, Л. Эйлер и А. Клеро интегрируют новые типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Л. Эйлер дал (1739, опубл. в 1743) первый метод решения однородного линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами, решение неоднородного уравнения он опубликовал десять лет спустя. Ж. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Ж. Д'Аламбер, Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, они же и П. Лаплас — второго порядка. Специальный интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрич. ряды, т. к. в связи с этой задачей, возникающей в ходе решения задачи волнового уравнения, выражающего малые колебания упругой струны, между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитич. выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. Я. Бернулли, А. Муавр, II. Лаплас на основе отдельных достижений 17—18 вв. заложили начала вероятностной теории.

В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналптич. геометрии. Начиная с И. Ньютона, систематически изучаются кривые третьего порядка. Э. Варинг установил ряд свойств алгебраич. кривых любого порядка. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии явились одним из источников упомянутого выше развития теории дифференциальных уравнении г. частными производными. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.

Из приведённого обзора видно, что М. 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с к-рой все они, начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования,. трактаты. Новую струю в организацию науки внесла в кон. 18 н. Великая франц. революция. Крупнейшие учёные (Ж. Лагранж, П. Лаплас. Л. Лежандр, Г. Монж) привлекаются к созданию метрич. системы мер, обязанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению поныл тригонометрич. таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития М. оказалось учреждение в 1794 Политехнической школы в Париже, возглавленной Г. Монжем и сделавшейся для Франции в нач. 10 в. основным центром математич. культуры.

III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время ч круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием н техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в нач. 19 и. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

1. Расширение предмета математики

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрич. интерпретации комплексных чисел [К. Вессель, 1799, и Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (Н. Абель, 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание II. 11. Лобачевским (1826, опубл. н 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь, по существу, не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают но только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в нач. и сер. 19 в. центральное положение во всём математич. анализе. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными н обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, напр., как функций, задающих конформное отображение, развился позднее, хотя возможности таких применений были намечены еще Л. Эйлером.

Ещё более замечательным примером теории, возникшей н результате внутреннего развития самой М., явилась “воображаемая геометрия” Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Возможность этой новой системы геометрии была усмотрена Н. И. Лобачевским на основе выяснения происхождения основных геометрич. понятий из материальной действительности и логич. анализа строения обычной евклидовой геометрии. Самому Н. И. Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению нек-рых интегралов. Позднее были обнаружены связи его геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, геометрия эта нашла применение при исследовании важных классов аналитич. функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Н. И. Лобачевского о возможности применения его геометрич. идей к исследованию реального физического пространства.

Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в кон. 18 в. и м 1-й пол. 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математич. фактов нашёл во 2-й пол. 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830—32, опубл. в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В сер. 19 в. А. Кэли дал общее “абстрактное” определение группы. С.Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого Е. С. Фёдоров (1890) и А. Шёнфлис (4891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного исчисления и тензорного исчисления. Постепенно всё более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики “скалярные” величины, послужившие исходным материалом для формирования понятий действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных зависимостей между такими величинами и составляет содержание векторного и тензорного исчисления. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания, круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов “количественные отношения” и “пространственные формы” приведённое в начало статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе ее развития (см. также Пространство}.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрич. систем, новых “алгебр” с “некоммутативным” или даже “неассоциативным” умножением и т. д по мере возникновения в них потребности. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной стороны, наиболее значительным среди открытий нач. 19 в. явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием М. аксиом, была понятна возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, но имеющих внутренний логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.

2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики

Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам её “обоснования”, т. е. критич. пересмотра её исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрения логич. приёмов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особо понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математич. теории и её проверкой на практич. материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, к-рые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, к-рый как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к “строгости” доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов М. справедливо занимают значительное место в М. 19 и 20 вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел” теория пределов и строгое обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практич. характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практич. потребностей математич. теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математич. теории вероятностей. И в настоящее время ещё отсутствует строгое обоснование многих математич. методов, широко применяемых в современной теоретич. физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математич. приёмов, дающих, напр., иногда правильный ответ лишь “с точностью” до заведомо ошибочного множителя, поправляемого из посторонних данному “математич. выводу” соображений, или при помощи отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бесконечность, и т. п.

Только к кон. 19 в. сложился стандарт требований к логич. строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математич. теории (см. Множеств теория. Аксиоматический метод}. С этой точки зрения любая математич. теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими положенной в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при её развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.

Из указанных требований, в частности, вытекает, что математич. теория, применимая к к.-л. системе объектов, применима автоматически и к любой “изоморфной” системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математич. выражением идеи “моделирования” физич. явлений из к.-л. одной области (напр., тепловых) физич. явлениями иной природы (напр., электрическими).

Изложенная концепция строения математич. теории является, по существу, лишь нек-рой конкретизацией определения М. как науки о количественных отношениях в разъяснённом выше широком понимании термина “количественные

отношения”. “Безразличие” количественных отношений к конкретной природ тех предметов, к-рые они связывают, находит здесь свое выражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной.

Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоящее время стандарт математич. “строгости”, но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математич. теорий и их систематизировать. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в к-рых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определённому конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы [напр., в случае алгебраич. ноля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая]. Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную “непрерывность” изучаемых пространств),к-рые существенно требуют введения “предельных” отношений, связывающих бесконечное число объектов.

Естественно, что аксиоматич. изложение к.-л. специальной математич. теории (напр., теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются понятиями натурального или действительного числа. В результате этого безукоризненное проведение аксиоматич. изложения математич. теорий перестало быть чем-либо особенно обременительным и всё больше входит во всеобщее употребление. При изучении таких сложных и в то же время общих образований, как, напр., непрерывные группы, различные виды векторных пространств, этот способ изложения и исследования необходим для достижения полной ясности и избежания ошибок.

Во всех конкретных, хотя бы и весьма общих, математич. теориях (от теории действительных чисел до общей теории топологич. пространств и т. п.) точка зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благодаря её проведению из конкретных математич. исследований практически исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о корректности определении и достаточной убедительности доказательств отдельных теорем. Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия связаны гл. обр. с теми её областями, где понятию бесконечного множества придаётся общность, излишняя для к.-л. приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математич. теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а их теория сама требует логич. обоснования, так как абстракция, приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмыслена лишь при определённых условиях, к-рые ещё далеко не выяснены.

Другую сторону строения любой математич. теории освещает математическая логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применения данной математич. теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями, но не даёт никаких указаний относительно логич. средств, при помощи к-рых эту математич. теорию придётся развивать. Напр., свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее решение вопросов, ответ на к-рые в принципе однозначно предопределён принятием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, но нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение нек-рых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения нек-рых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логич. выводи.

Современная математич. логика дала на этот вопрос определённый ответ:

никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее, уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем такого рода, что для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах данной теории (К. Гёдель). При этом под “дедуктивной теорией” понимается теория, к-рая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов логи'1. вывода.

Таким образом было обнаружено, что понятие математич. теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логич. понятие дедуктивной теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение к существенно новым способам логич. рассуждений, выходящим за пределы любого конечного набора стандартизированных приёмов.

Все те результаты, к-рые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз и навсегда правилам. Если для решения нек-рого класса проблем даётся строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математич. алгоритме. С самого создания достаточно разработанной системы математич. знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. Но только в результате развития математич. логики начала создаваться общая теория алгоритмов и “алгоритмич. разрешимости” математич. проблем.

Отмеченной выше ограниченности возможностей любой фиксированной дедуктивной теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможности “универсальных” алгоритмов для достаточно общих классов математич. проблем. Эти теоремы дали философии М. наиболее интересную и острую конкретизацию общего положения о том, что живое мышление принципиально отличается от работы любого вида вычисляющих автоматов.

Теория множеств, успешное построение большинства математич. теорий на основе теоретико-множественной аксиоматики и успехов математич. логики (с входящей в неё теорией алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для разрешения многих философских проблем современной М. Благодаря теоретико-множественной переработке всех отделов М., решение проблем, связанных с понятием бесконечности в М., сведено к обоснованию и критич. выяснению содержания понятия бесконечного множества. Теоретико-множественная аксиоматика, как уже было указано, даёт средства для достаточно общей трактовки вопроса о количественном характере изучаемых М. отношений. Она же позволяет с единой точки зрения рассмотреть строение специальных математич. теорий, предметное содержание к-рых закрепляется при помощи соответствующей системы аксиом, и, таким образом, до известной степени осветить как вопрос об отношении математич. теории к действительности, так и вопрос о своеобразии математич. метода исследования. Как было отмечено, возникающее таким образом понятие математич. теории существенно шире, чем понятие дедуктивной теории в смысле формальной логики. Относящиеся к этому вопросу результаты современной математич. логики позволяют с полной конкретностью проследить диалектич. процесс создания дедуктивных теорий и алгоритмов, к-рые доставляют нам формально-логические и вычислительные средства для решения всё более широкого круга проблем математич. теории.

3. История математики в 19 веке и в начале 20 века

Начало и середина 19 века. В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамики несжимаемой идеальной жидкости Пыла создана еще в 18 в. Д. Борпулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники. В нач. 19 в.— ото вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики, усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков нач. п сер. 19 в.— К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашёл (1826, опубл. в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее n-мерное обобщение (1834, опубл. в 1838), усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836, опубл. в 1838), получив, по существу, те результаты, к-рые были для общего n-мерното случая компактно формулированы позднее (1841) К. Якоби. В результате исследований но уравнениям математич. физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный. анализ (одной из основных формул к-рого, впрочем, являлась, по существу, и упомянутая формула Остроградского).

Несмотря на господствовавшее в естествознании нач. 19 в. механистич. убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает дальнейшее значительное развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитич. аппарат. В России применением теории вероятностей к приёмочному контролю и статистике занимаются М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский; П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованиям в этом направлении Б. Больцано, аналитически доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано — Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. Для полной строгости выводов Б. Больцано не доставало теории действительного числа; в его рукописях, опубликованных лишь в наше время, имеется незавершённый набросок такой теории. Однако небольшая брошюра Б. Больцано (1817) оставалась незамеченной около полустолетия, и реальным отправным пунктом перестройки анализа стали курсы О. Коши, к-рый в 1821 и 1823 опубликовал читанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему существования интеграла от непрерывной функции). Нек-рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений, уже известные О. Коши в это время, были опубликованы позднее. Н. И. Лобачевский (1834) и независимо П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия (восходящее, впрочем, к Л. Эйлеру, 1755). П. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов н минимуме! рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Н. И. Лобачевский (1834—35).

Выше уже отмечалась работа К. Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел, но она оставалась незамеченной. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Ж. Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством т. н. леммы Д'Алам-бора, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее и доказательству О. Коши (1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает тео-рия функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего но опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптич. функций была развита Н. Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмич. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытойС). Коши). Этот в известном смысле слова “качественный” и геометрич. .характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в сер. 19 в. у Б. Римана. Здесь оказывается, что естественным геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности является но плоскость комплексного переменного, а т. н. риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрич. идеи Б. Римана оказываютсяв дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебьппевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х гг. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраич. теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 в. разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848,1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметич. прогрессиях и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827), Ф. Миндингом и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась долгое время независимо от неевклидовой геометрии проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грассман создаёт афинную и метрич. геометрию n-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия, по существу, также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Риман создаёт (1854, опубл. в 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразии (см. Риманова геометрия). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразии.

Конец 19 века и начало 20 века. Лишь в нач. 70-х гг. 19 в. Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени “геометрий” пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это ;ке время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс) . В 1879—84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теория бесконечных множеств, в разработке к-рой видную роль сыграл вначале также Р. Дедекинд. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математич. теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 “Оснований геометрии” Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математич. теории и приёмов конструктивного решения математич. задач средствами математич. логики. Эти исследования вырастают в большой самостоятельный отдел М.— математич. логику. Основы математич. логики создаются в 19 и. Дж. Булем, II. С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано и др. В нач. 20 в. в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).

Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству п силе методов и окончательности результатов, получают в кон. 19 в. и в нач. 20 в. все разделы М., начиная с самого старого из них — теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, Ф. Линдеман в 1882 — числа л, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит ii теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков. Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской науки в области теории чисел ещё более закрепляется в советское время. Продолжают развиваться классич. отделы алгебры. В частности, подробно исследуются различные возможности сведения решения уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида — т. н. проблема резольвент (Ф. Клейн, Д. Гильберт). В связи с запросами теории колебании (устойчивость, автоматич. управление) широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения корней уравнения на плоскости. Вопросы линейной алгебры, получающей всё более широкое применение в механике и физике, освещаются с совершенно ноной стороны, благодаря привлечению геометрич. идей теории гамерных векторных пространств. Однако центр тяжести теоретич. алгебраич. исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, Колец, решёток и т. д. Многие из этих отделов получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп — в кристаллографии (в работах Е. С. Фёдорова и А. Шёнфлиса), а позднее — в квантовой физике.

На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы к-той позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиком гл. обр. под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, становится дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематич. развитие в работах Э. Бельтрами, Г. Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных, более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрич. исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано прежде всего работами Т. Леви-Чивиты, Э. Картана и Г. Вейля.

В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических функций в кон. 19 в. лишается того исключительного положения ядра всего математич. Анализа, к-рое намечается для нее в нач. и сер. 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей её с другими отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (напр., задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Ф. Клейн и А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрич. теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт и др.

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М.— теория функций действительного переменного. Под этим несколько условным названием понимают по преимуществу исследование основных понятий анализа (напр., понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа (напр., разложения функций в тригонометрич. ряды) с достаточно общей точки зрения. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие “естественно” из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих определений (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке) и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях, когда в первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения к-рой они возникли (напр., создание такого процесса интегрирования, к-рый позволил бы восстановить с точностью до постоянной любую функцию, имеющую в каждой точке производную по этой производной). Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе (см. Метрическая теория функций).

Исследование функций действительного переменного велось, однако, и с другой, примыкающей к П. Л. Чебышеву, классич. точки зрения. Именно, было обнаружено, что более узкие классы функций, имеющие основной практич. интерес (классы функций, данное число раз дифференцируемых, или аналитич. функций), могут быть охарактеризованы тем, насколько быстро убывают с возрастанием п отклонения от функции наилучшим образом аппроксимирующих её многочленов степени п. Наиболее значительные результаты были получены в кон. 19 в. и в нач. 20 в. русскими и советскими математиками (см. Приближение функций). Разрабатывается также теория приближения функций многочленами в комплексной области.

Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич. физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме теории операторов) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви М. было произведено В. Вольтеррой в кон. 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематич. построение к-рой было начато тем же В. Вольтеррой и продолжено И. Фредгольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зрения центральное положение в функциональном анализе занимает теория бесконечномерных пространств (разработанная и наиболее, употребительной ныне форме С. Банахом) и операторов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, основная роль к-рого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитич. теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразии, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили свое начало “комбинаторные”, “гомологические” и “гомотопические” методы современной топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологич. пространств, в частности теории их размерности.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными ещё в кон. 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитич. теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, т. к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретич. Решение не имеет практич. ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитич. Теории: краевые задачи, к-рые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными. Наиболее надёжным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физич. Представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными гл. обр. в теорию уравнений математич. физики имело большое положительное значение в смысле накопления огромного конкретного материала, в то же время служит и признаком недостаточного развития общей теории краевых задач, к-рая позволила бы систематически изучать все теоретически возможные “корректные” краевые задачи. Существенный прогресс в этом направлении достигнут в работах советских математиков. Работы по отдельным типам уравнений математич. физики справедливо составляют значительную часть всей математич. продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математич. физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы теории вероятностей. Если п нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 в. ив нач. 20 в, теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам теории вероятностей п кон. 19 в. ив нач. 20 в. принадлежат русской школе (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М.Ляпунов). Они сосредоточиваются вокруг вопроса об условиях применимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В 20 в. происходит общий подъём интереса к теории вероятностей во всех странах. Создаются основы теории случайных процессов и даётся окончательная форма аксиоматич. изложения теории вероятностей, исходящая из усмотренных впервые Э. Борелем аналогий между понятием вероятности и понятием меры в теории функций действительного переменного.

Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в численной форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В кон. 19 в. и в нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества математич. таблиц.

Со 2-й пол. 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов истории М.

IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выше были отмечены основные особенности современной М. (пп. 1, 2) и были перечислены (п. 3) основные направления исследований М. по разделам, как они сложились в нач. 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 в., особенно после окончания 2-й мировой войны 1939—45. Современное состоянием, и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих статьях.

Потребности развития самой М., “математизация” различных областей науки, проникновение математич. Методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин 

На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла конечная или дискретная математика.

Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или ме-ханич. системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математич. теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Советская М. занимает передовое место в мировой математич. науке. Во многих направлениях работы советских учёных играют определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математич. центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петербургской школы. После Великой Октябрьской социалистич. революции ряд новых важных направлений возник в московской математич. школе. В дореволюционной России основными центрами математич. исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и др.). Развитие научных исследований и области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значительной мере сконцснтрироианы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих университетах. Важной чертой развития М. является возникновение за годы Советской власти многочисленных научных школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы математич. школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и др. городах и созданная в 60-х гг. научная школа в Академгородке близ Новосибирска.

За рубежом математич. исследования ведутся как в математич. институтах, так и в университетах (особенно в капиталистич. странах).

Ещё на рубеже 17—18 вв. появились первые математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математич. науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах. Организация и поощрение международного сотрудничества в области М., подготовка научных программ международных математич. конгрессов и др. является задачей международного математического союза. Текущие математич, исследования (а также информация о математич. жизни в различных странах) публикуются в математических журналах, общее число к-рых (нач. 80-х гг. 20 в.) более 250.

Литература

* Философия и история математики. Математика, со содержание, методы и значении, т. 1—3, М., 1956;

Цеитсн Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 изд., М.— Л., 1938; его же. История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.— Л., 1938;

Ван дёр ВарденБ.Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, пер. с голл., М., 1959;

Н е й г е б а у э р О., Точные науки в древности, пер. с англ., М., 1968;

Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961;

Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; его же. Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., пер. с нем., 2 изд., М.— Л., 1935;

Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.— Л., 1937;

Р ы б н и к о в К. А., История математики, 2 изд., М., 1974;

Б у р б а к и Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963;

С т р о й к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 3 изд., М., 1978;

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970—72;

Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций, М., 1981;

Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление, М., 1987;

Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия, М., 1976;

Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей, М., 1977;

Александрова Н. В., Математические термины. Справочник, М., 1978; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1—4, Lpz., 1907—13; Dieudonne J., Abrege d'histoire des matheinatiques. 1700—1900, P., 1978.

Обзоры и энциклопедии. Виноградов И.М., Математика и научный прогресс, в кн.:

Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сб. ст.], М.— Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917—1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сб. ст., М.— Л., 1948;

Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. Сб. ст., т. 1, М., 1959;

В е й л ь Г., Полвека математики, пер. с англ., М., 1969.

Математическая энциклопедия, т. 1—5, М., 1977—85;

Энциклопедия элементарной математики, кн. 1—5, М.—Л., 1951—66;

Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., 2 изд., т. 1—3, Одесса, 1911—14;

Enzyklopadio der mathematischen Wissenschaften, mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd 1—6, Lpz., 1898— 1934; 2 Aufl., Bd 1—3, Lpz., 1950—67;

Encyclopedic des sciences mathematiques pures et ap-pliquees, t. 1—7, P.—Lpz., 1904—14;

Mathematik, 12 Aufl., Lpz., 1983 (Kleine Enzyklopedie);

Mathematiaches Worterbuch, 2 Aufl., Bd 1—2, В.— Lpz., 1962.

Интересная ссылка


В. Леонов. Цели, возможности, и проблемы использования биостатистики в доказательной медицине. Доклад на Конференции по доказательной медицине в Ереване «От доказательной медицины к доказательному здравоохранению» (24 - 26 сентября 2015 года).

Фоторепортаж с Конференции по доказательной медицине в Ереване.

Фоторепортаж с семинара по биометрике в Ереване, прошедшего после конференции по доказательной медицине (24 - 26 сентября 2015 года).

Отзывы слушателей семинара по биометрике в Ереване в сентябре 2015 г.

Вот к чему приводит безграмотное использование статистики в диссертациях: Приказы Минобрнауки России о снятии диссертации с рассмотрения


Логистическая регрессия в медицине и биологии
1. Логистическая регрессия. Основные понятия и возможности метода.
2. Логистическая регрессия. Анализ массивов большой размерности.
3. Логистическая регрессия. Примеры анализа реальных данных.
4. Логистическая регрессия и ROC-анализ.
5.Особенности логистической регрессии в акушерстве.
6.Особенности логистической регрессии в психиатрии, психологии и социологии.
7. Пример использования логистической регрессии для расчёта прогноза исхода оперативного лечения.
8. Логистическая регрессия  - "вершина пирамиды". А в "фундаменте" - что?
9. Как повысить качество логистической регрессии.


Камчатская биометрика-2014. Семинар по биометрике в камчатском НИИ КамчатНИРО. (24.03.2014-3.04.2014).

Камчатская фото-биометрика-2014. Фоторепортаж с семинара по биометрике в Петропавловске-Камчатском.

Отзывы слушателей семинара по биометрике в Петропавловске-Камчатском


ЕСЛИ ДОЛЛАР РАСТЁТ, ЗНАЧИТ, РУБЛЬ В СТРАНЕ НЕ РАБОТАЕТ! Виной всему является неверная финансовая политика в стране: инвестиционные кредиты российские банки дают минимум под 10-11% годовых, а западные банки - под 2-5% годовых. Вот и результат - все стараются брать кредиты на Западе! (т. е. в валюте)

Фантастическое будущее без нас. Куда приведёт Россию её особый путь. ...в России сейчас государство сформулировало совсем другую систему приоритетов. Что в приоритете там? Наука.

Сверхдержава без энергии. "... поступления в бюджет Советского Союза от продажи за рубеж топливно-энергетических товаров и электроэнергии ... в период 1980-90 годов составляли в среднем 8-10 процентов от всех доходов страны. В то же время ... в предкризисном 2013 году доля нефтегазовых доходов в бюджете России составляла 50 процентов. С 2014 года она начинает снижаться: вначале до 48 процентов, затем, в 2015 году, до 47 процентов. По прогнозам, в следующем, 2016 году, она составит 43 процента. ...  для существующей в современной России экономической, социальной и политической системы схлопывание нефтяного рынка будет означать коллапс".

"Гибридная контрреволюция" состоялась. Несуществующий «праздник» с настоящими слезами на глазах. Капитал и люди массово бегут из России: если в 2004 г. отток капитала составлял не более $20–25 миллиардов, то последние два года он приблизился к цифре в $150 миллиардов. Стремительно обесценивается российский рубль: в 2004-м доллар стоил 29 рублей, сегодня уже более 68; из-за этого в магазинах растут цены и падает уровень жизни граждан...

Россияне работают много, но плохо. Труд граждан РФ признан неэффективным

Смена лидера. Россия пропустила Казахстан вперед по ВВП на душу населения. На минувшей неделе стало известно, что Казахстан по итогам этого года обойдет Россию по ВВП на душу населения.

Братья по лени
Производительность труда, которую по методологии ОЭСР считают как ВВП страны, разделенный на все часы рабочего времени, в России составляет всего $25,9 и отстает от всех европейских стран. В Греции производительность труда — $36,2, в среднем по 28 странам Евросоюза — $50, а в Германии и Франции около $60.

ЕСЛИ ДОЛЛАР РАСТЁТ, ЗНАЧИТ, РУБЛЬ В СТРАНЕ НЕ РАБОТАЕТ! Виной всему является неверная финансовая политика в стране: инвестиционные кредиты российские банки дают минимум под 10-11% годовых, а западные банки - под 2-5% годовых. Вот и результат - все стараются брать кредиты на Западе! (т. е. в валюте). (читайте далее...)


Ад русских больниц

Такая боль. Каждого шестого пациента в российских больницах лечат неправильно

Высокую медицину опустили ниже плинтуса

Неравнодушные! Приглашаем в ДИССЕРНЕТ!
Это не про науку. Это про репутацию и враньё

DisserNet

Сетевое сообщество "Диссернет" заявило о наличии заимствований в диссертации главы Минсельхоза Александра Ткачева. Результаты экспертизы опубликованы на сайте проекта.

ВАК вынужден идти навстречу Диссернету. Это очень трудно — заставить ВАК исполнять закон и слеодвать морали. Но многое получается. Присоединяйтесь к Диссернету — это важнейшее дело, которое вы можете сделать для русской науки.

Депутата Госдумы Ришата Абубакирова лишают докторской степени

Член Совфеда: «Финансирование науки упало до уровня Конго или Афганистана»
В проекте закона о федеральном бюджете на 2016 год на «гражданскую» науку выделено всего 0,3 процента ВВП". Великий гражданин мира Фредерик Жолио-Кюри сказал: «Та страна, которая не развивает науку, неизбежно превращается в колонию». Что ждёт и Россию...

ЮНЕСКО отмечает снижение вклада России в мировую науку. ЮНЕСКО после пятилетнего перерыва опубликовала доклад по науке до 2030 года. Статистические показатели для России ухудшились по сравнению с большинством ведущих научных стран, несмотря на то, что многие данные взяты из официальных российских источников.

Что губит российскую науку и как с этим бороться. Георгий Георгиев, академик РАН, координатор программы РАН «Молекулярная и клеточная биология». В этой статье рассматривается вопрос, почему все эти виды открытой науки в нашей стране отстают и что надо сделать для их прогресса.

«РОССИЯ БЕЗ НАУКИ — ТРУБА». 29 мая 2015 года в Москве прошла третья сессия Конференции научных работников. Публикуем несколько выступлений, прозвучавших на этом форуме.

Георгий Базыкин. Неолысенковщина, финансируемая государством. При принятии решений о том, что является наукой, а что — лженаукой, государству стоило бы посоветоваться с учёными.

А. Марков. Результаты научных исследований должны быть открыты для всех

Плохая наука. НЕКОРРЕКТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИВОДЯТ К ЛОЖНОМУ ЗНАНИЮ, А ИНОГДА — К ГИБЕЛИ ЛЮДЕЙ

Плохая наука-2011: о скандалах в учёном мире

ПОЛОВИНУ ОТКРЫТЫХ НАУЧНЫХ ЖУРНАЛОВ НАЗВАЛИ "МУСОРОМ"... Результат был ошеломляющим: 157 журналов приняли заведомо «бракованные» статьи к публикации, причем около 80 из них даже не подвергали их должной проверке. Отвергли статьи 98 журналов, а остальные к настоящему моменту не успели принять решения. ...«Журналы без контроля качества деструктивны, особенно для развивающихся стран, где правительственные учреждения и университеты заполнены людьми с фальшивыми научными званиями»


Сайт межрегионального общественного Движения за возрождение отечественной науки

INAHTA

Международная сеть агентств по оценке медицинских технологий

I-ая Всероссийская конференция с международным участием «Эндогенная активность Земли и биосоциальные процессы» (ГеоБио2014)

The Journal of the American Medical Association — еженедельный международный медицинский журнал, издаваемый American Medical Association.

Журналы Lancet

Бен Голдакр. Плохая наука.

Бен Голдакр. Плохая статистика в науке.

Бен Голдакр. Боремся с плохой наукой.

Власов В. Фабрика под золотой крышей. "... Когда Диссернет прикоснулся к медицинским диссертациям [2], почти сразу среди диссертаций с обильными заимствованиями оказались диссертации, выполненные и защищенные в НЦССХ".

Власов В. ОСДМ и Диссернет заседали. Заседание было посвящено качеству медицинских диссертаций, прежде всего в свете данных о плагиате в них и, главное, как оказалось, распространенной практике фальсификации и манипуляции данных в медицинских диссертациях.

Треть диссертационных советов будет упразднена

ВАСИЛИЙ ВЛАСОВ. «Нашей медицине нужны реформы»  Борьба за доказательства в начале XXI века Доказательная медицина сегодня  

Диссернет «Наукометрическая оценка качества медицинских исследований/диссертаций» 05.06.2014

Вузы РФ будут обязаны публиковать дипломы в электронных библиотеках

Отзывы на авторефераты и диссертации

Диссертационные войны. Как борьба с плагиатом в диссертациях переместилась из науки в политику

ВЛАДИМИР ФИЛИППОВ. «Закрутим гайки – и пена уйдет». Интервью с председателем ВАК Владимиром Филипповым.

Дело о крови и лимфе. "Диссернет" всерьёз занялся врачами

Доказательная медицина: история, эволюция, роль в медицине

В.В. Фадеев. Представление данных в оригинальных работах и их статистическая обработка.
Проблемы эндокринологии – 2002 - Т. 48, N 3. – С. 47 – 48.


Ценовой шок: обед в Кремле стоит 20 рублей 12 копеек

«Вопрос не только об автомобилях, но и об унитазах»
Я на совещании в Генпрокуратуре побывала в туалете — там подогреваемые японские унитазы c пультом управления и инструкцией из 16 пунктов, как этим унитазом пользоваться. Он 15 тысяч долларов стоит. Зачем такой унитаз Генпрокуратуре, непонятно. Поэтому вопрос не только об автомобилях, но и об унитазах тоже

Счетная Палата узнала страшное: 70% госконтрактов заключают в «серой зоне» 
В сфере госзакупок доходит до анекдотичных примеров - ёршики для унитазов по 12 тыс. руб. за штуку (мэрия Санкт-Петербурга), комплекты мебели за 4,4 млн (МВД) и ремонт туалета за 1,6 млн (мэрия Красноярска). 


Россия по уровню технологий отстает от развитых стран на 50 лет

России пора отделиться от бывшего СССР

Колокольцев предложил уголовную ответственность за "липовые" диссертации.

Балацкий Е.В. Диссертационная ловушка

Мы ничего не производим
Мы собираемся развивать медицину и заботимся о здоровье нации? При этом мы производим медицинской аппаратуры на душу населения в 29 раз меньше, чем США, в 17 раз меньше, чем Германия, а лекарств, соответственно, в 66 и в 31 раз меньше.


Некоммерческий обмен информацией

Некоммерческий обмен информацией

Стихотворение длиною в жизнь.
Нина Кудрявцева
Душа и сердце в каждой строчке

Институциональные конфликты в высшей школе

Текст статьи "Корчеватель"

ВАКовский журнал опубликовал бред, сгенерированный компьютером

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ.
ЭЛЕКТРОННЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ


Поможем детям, если государство не хочет им помогать...

Поможем детям, если чиновники не хотят им помогать...


В. В. Налимов - выдающийся учёный, математик и философ

Институт проблем передачи информации РАН"

Бюллетень в защиту науки

Интернет-портал интеллектуальной молодёжи

Source Code for Biology and Medicine
Кунсткамера  КЛИНИЧЕСКОЙ НАУКИ Кунсткамера КЛИНИЧЕСКОЙ НАУКИ

Сайт Воробьёва К.П. Авторский
ресурс
Воробьёва К.П
.
Константин ВОРОБЬЕВ: «Во всем мире клиническое решение принимает пациент»

Учебное клиническое исследование врача-интерна как способ освоения основ доказательной медицины

Количественные характеристики клинической информации

Европейская политика оценки технологий здравоохранения

ПРИШЛО ВРЕМЯ ДЕКЛАРАЦИЙ

Национальные агентства оценки технологий здравоохранения в экономически развитых странах

Доказательная медицина и компетентность врача

Кафедры клинической эпидемиологии и биостатистики в рейтинговых университетах

Конфликты интересов в медицине и роль новых научных подходов в их контроле и управлении

Критерии качества клинических исследований: международные стандарты и текущая национальная практика

КЛИНИКО-ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАТЕГОРИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ОРГАНИЗМА В ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ

Формальные критерии качества и ценности клинической информации

ФОРМАТ СОВРЕМЕННОЙ ЖУРНАЛЬНОЙ ПУБЛИКАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КЛИНИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ. Часть 1. Сущность проблем. Часть 2. Международные рекомендации. Часть 3. Дизайн клинического исследования. Часть 4. Биостатистика. Часть 5. Авторство. Часть 6. Недобросовестная практика научных исследований.

РЕЗУЛЬТАТЫ НЕЗАВИСИМОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ТРЕХ ПРОГРАММ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА

Проблемы вхождения технологий доказательной медицины в Украинское здравоохранение. Часть 1. Место технологий доказательной медицины в клиническом решении врача

Часть 2. Влияние технологий доказательной медицины на организацию клинической науки

Зависимость характеристик вариабельности ритма сердца при рассеянном склерозе от возраста, половой принадлежности и тяжести состояния


Авторский ресурс Зорина Н.А.


После взрыва на СХК в 1993г. в Томске и Северске увеличилась частота рождения детей с пороками развития После того, или же вследствие того?
Справочники, энциклопедии, глоссарии Справочники, энциклопедии, глоссарии
 Enyukov I.S. Data analysis, time series forecasting, Data Mining.

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА XXI ВЕКА.


ВАК РФ

Практикум по современному русскому язык


Презентации к лекциям А.В.Рубановича

Основы биостатистики

Кошмар Бонферрони

Введение в мета-анализ

Прогностическая эффективность биомаркеров


 Музыка для души ...

 

1998 - 2015.© Василий Леонов. E-mail:

Доказательная или сомнительная? Медицинская наука Кузбасса: статистические аспекты.

Введение в семиотику информационных технологий

Возврат на главную страницу.

Возврат в КУНСТКАМЕРУ

Т. Кун "Структура научных революций"