Яндекс.Метрика Ошибки статистического анализа биомедицинских данных

Каждый слышит то, что понимает. Гете


"Люди перестают мыслить,
когда перестают читать
".
Д. Дидро

Статистика посещаемости БИОМЕТРИКИ

Наш адрес:

Выбрав любое изображение, кликните по нему мышкой, и Вы узнаете о статистике ...


Редактор БИОМЕТРИКИ
В. Леонов

Популярные страницы посещаемые читателями

http://www.biometrica.tomsk.ru/index.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_1.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_2.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_3.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_4.htm

http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_5.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_6.htm

http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_7.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_8.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_9.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_10.htm

http://www.biometrica.tomsk.ru/biostat_11.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/nauka_33.htm

http://www.biometrica.tomsk.ru/potencial.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/nauka_19.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/logit_0.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio_1998.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_3.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/student.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio1.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/error.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/leonov_vak.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/erevan_4.html
http://www.biometrica.tomsk.ru/student.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/stat_cardio1.htm
http://www.biometrica.tomsk.ru/biometrica_18.htm

ПОПУЛЯРНОЕ МНЕНИЕ ДОКТОРА НАУК БИОЛОГИИ ЯКУТСКА О СТАТИСТИКЕ...

 

  Ошибки статистического анализа биомедицинских данных

 Леонов В.П.

Международный журнал 
медицинской практики,
2007, вып. 2, стр.19-35
.

    В статье рассмотрено много примеров ошибочного использования статистики в российской биологии и медицине. Дана классификация основных видов ошибок, обсуждаются обзоры по этой теме за предыдущие 50 лет. Дана классификация причин возникновения таких ошибок в биологии и медицине. С позиций меметики рассмотрены более 1500 статей, монографий и диссертаций, содержащих  типичные ошибки использования и описания статистики. Приведены цепочки мемов с ошибочными описаниями методов сравнения средних и статистической значимости результатов и доверительной вероятности.

    Показано существование устойчивых мемов ошибочного описания статистики внутри отдельных научных школ, например в Сибирском государственном медицинском университете. Вводится новый тип мема - мем камуфляжного описания, используемый для маскировки неправильного применения статистики в медицинском исследовании. Установлено, что наиболее часто встречаются случаи ошибочного использования t-критерия Стьюдента, без необходимой проверки обязательных для этого условий. Наиболее часто подобные ошибки встречаются в публикациях журнала "Бюллетень экспериментальной биологии и медицины". 

      Достаточно часто в российских публикациях приводятся описания некорректного применения многомерных статистических методов, таких как факторный и кластерный анализ. На основе анализа причин живучести таких ошибок в биомедицине, даны конкретные рекомендации по разрешению этой проблемы. Основным средством для этого является создание в медицинских исследовательских организациях лабораторий биостатистики.


 

Оглавление

Ошибка – это …

Ошибка или обман?

Обзоры ошибок применения статистики в медицине

Причины возникновения ошибок и меры борьбы с ними

Ошибки описания статистических методов

Меметический анализ описаний методов статистики

Локализация ошибочных описаний внутри научных школ

Мемы камуфляжных описаний

Смутно пишут о том, о чем смутно представляют

Коварный t-критерий Стьюдента

«… не зная законов языка ирокезского, можешь ли ты делать такое суждение  по  сему предмету…»

Что же делать, чтобы избежать ошибок?

 


Коварный t-критерий Стьюдента

Нужно делать так, как нужно,

а как не нужно - делать не нужно.

Винни-Пух.

 

Наибольшей популярностью при проверке гипотез о равенстве генеральных средних пользуется t-критерий Стьюдента. При чтении статей БЭБМ и «Вестника РАМН» складывается впечатление, что большинство авторов этих журналов знают и используют лишь t-критерий Стьюдента. Например, в выпусках БЭБМ за 1997 г. t-критерий использован в 125 статьях, тогда как корреляционный и дисперсионный анализ применен всего лишь в 15, критерий Колмогорова-Смирнова - в одной, парная линейная регрессия - в трех, точный критерий Фишера - в трех статьях.

Как известно, использование t-критерия Стьюдента имеет два ограничения, а именно, нормальность распределения в обеих сравниваемых группах, и равенство генеральных дисперсий {Леонов, 2007}. Из 1562 проанализированных нами статей, монографий, диссертаций и авторефератов, авторы  которых использовали t-критерий Стьюдента, упоминание о проверке нормальности распределения исследуемых признаков было только в 23 работах! О проверке второго ограничения – на равенство генеральных дисперсий упоминалось лишь в одной работе.

Очевидно, что без наличия исходных данных читателю проверить факт нормальности распределения признаков, анализируемых в таких публикациях, невозможно. Наши исследования нормальности распределения биомедицинских признаков, проведенные в течение 20 лет более чем на 10 тысячах переменных, показали, что примерно 75% используемых переменных не подчиняются нормальному распределению. Проверка второго условия возможности применения t-критерия Стьюдента чаще всего для читателя доступна. Предположим, что анализируемые авторами признаки действительно подчиняются нормальному распределению. В этом случае для проверки второго требования – равенства генеральных дисперсий, необходимы лишь по два параметра из каждой из сравниваемых групп. Это выборочные дисперсии и объемы наблюдений. Используя их можно вычислить F-критерий Фишера и далее оценить достигнутый уровень значимости «р».

  Чаще всего авторы подобных публикаций приводят в таблицах объём наблюдений «n», и либо стандартное (среднеквадратичное) отклонение «s», либо ошибку среднего «m» для каждой из сравниваемых групп. В первом случае проверку гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух совокупностей можно произвести вычислив F-критерий Фишера по формуле F= s12/s22 , где s12  максимальная по величине дисперсия,  а s22 – минимальная дисперсия. Во втором же случае используя значение  «m» и «n» можно получить значение выборочной дисперсии s2 по формуле s2=m2*n для каждой из групп, и далее вычислить F-критерий Фишера. Наши исследования, а также результаты исследований других авторов, показывают, что в большинстве случаев для количественных признаков, изучаемых в биомедицине, характерно значительно увеличение дисперсии в опытной группе. Причем такое увеличение чаще всего сопровождается и увеличением среднего значения в опытной группе. Иногда же, увеличение дисперсии происходит и на фоне практически неизменного среднего.

 

В качестве примера такой послепубликационной проверки допустимости применения t-критерия Стьюдента рассмотрим табл. 1 из статьи {Новицкий В.В., Рязанцева Н.В., Семин И.Р., 2000}.  В статье сообщается, что «Достоверность различий между сравниваемыми группами оценивали с использованием t критерия Стьюдента. … Измеряли внешний диаметр клетки и размер центральной впадины у 50 произвольно выбранных дискоцитов … ».

Таблица 1

Морфологические характеристики популяции эритроцитов (%) у больных психическими расстройствами по данным сканирующей электронной микроскопии (X ± m). 

Морфологические формы

Здоровые доноры

Больные с непсихотическими психическими расстройствами

Больные с умственной отсталостью

Больные параноидной шизофренией

Нормальные ДД:

87,77±0,12

83,04±0,37*

81,28±0,28 ++

80,59±0,19 *+xx

Эллипсы

0,24±0,02

0,49±0,04*

0,39± 0,05**

0,58±0,04 *x

Плоские диски

0,21±0,01

0,75±0,07*

0,73±0,08 *

0,95±0,03 *++x

Дискоциты с выростом

3,62±0,08

4,96±0,04

5,48±0,11 *+

5,19±0,09 +++xx

Дискоциты с гребнем

4,56±0,06

5,28±0,11*

6,07±0,12 *+

5,88±0,07 *+

Дискоциты с множественными выростами

0,67±0,03

0,88±0,06 **

1,19±0,04 *+

1,24±0,02 *+

Эритроциты в виде тутовой ягоды

0,12±0,01

0,11±0,01

0,11±0,01 

0,13±0,01

Необратимо трансформированные эритроциты:

Куполообразные

1,04±0,17

1,33±0,06

1,26±0,07

1,51±0,03 **++x

Сферические

1,26±0,02

1,96±0,10*

2,13±0,09 *

2,33±0,02 *+xx

В виде спущенного мяча

0,52±0,03

0,69±0,03 *

0,78±0,04 *

0,84±0,02 *+

Дегенеративные формы

0,19±0,01

0,66±0,05 *

0,57±0,07 *

0,79±0,03*+++х

Примечание: * p < 0,001, ** p < 0,01 по сравнению с показателями у здоровых доноров; 
+ p < 0,001, ++ p < 0,01, +++ p < 0,05  по сравнению с показателями с непсихотическими расстройствами; 
x p < 0,01, xx p < 0,05 по сравнению с показателями больных с умственной отсталостью».

 

В работе {Новицкий В.В., Рязанцева Н.В., Семин И.Р., 2000} ничего не сообщается ни о проверке нормальности распределения,  ни о проверке равенства генеральных дисперсий (для всех признаков и во всех сравниваемых группах). Используя данные табл.1 проведем проверку гипотез о равенстве дисперсий для набора случайно выбранных  пар. Ниже в табл.2. приведена лишь небольшая часть результатов проверки гипотез о равенстве дисперсий в 44 группах.

 

Таблица 2

Результаты проверки статистической гипотезы о равенстве генеральных дисперсий в двух сравниваемых группах

Первая пара 
X±m

Вторая пара 
X±m

F-критерий Фишера

Достигнутый уровень значимости F-критерия

Вывод по нулевой гипотезы

о равенстве генеральных

дисперсий в  сравниваемых

группах

81,28±0,28

87,77±0,12

5,444

0,000000

Дисперсии не равны

0,39±0,05

0,24±0,02

6,25

0,000000

Дисперсии не равны

0,73±0,08

0,21±0,01

64

0,000000

Дисперсии не равны

2,13±0,09

1,26±0,02

20,25

0,000000

Дисперсии не равны

0,66±0,05

0,19±0,01

25

0,000000

Дисперсии не равны

0,57±0,07

0,19±0,01

49

0,000000

Дисперсии не равны

1,96±0,10

2,33±0,02

25

0,000000

Дисперсии не равны

87,77±0,12

83,04±0,37

9,507

0,000000

Дисперсии не равны

0,21±0,01

0,75±0,07

49

0,000000

Дисперсии не равны

1,33±0,06

1,04±0,17

8,08

0,000000

Дисперсии не равны

1,96±0,1

1,26±0,02

25

0,000000

Дисперсии не равны

0,66±0,05

0,19±0,01

25

0,000000

Дисперсии не равны

0,73±0,08

0,95±0,03

7,111

0,000000

Дисперсии не равны

1,26±0,07

1,51±0,03

5,444

0,000000

Дисперсии не равны

2,13±0,09

2,33±0,02

20,25

0,000000

Дисперсии не равны

0,57±0,07

0,79±0,03

5,444

0,000000

Дисперсии не равны

 

    Аналогичные результаты были получены и при сравнении всех остальных пар. Поскольку достигнутый уровень значимости этих пар сравнений значительно меньше 5%, то гипотеза о равенстве дисперсий для этих случаев отвергается. Нередко величины дисперсий различаются между собой в десятки раз! Если даже предположить, что во всех  44-х сравниваемых группах наблюдалось нормальное распределение, что само по себе маловероятно, тем не менее, критерий Стьюдента не может быть использован в данных условиях вследствие неравенства генеральных дисперсий. Из чего следует, что выводы авторов {Новицкий В.В., Рязанцева Н.В., Семин И.Р., 2000} не могут быть признаны корректно обоснованными методами статистики, а стало быть, их надежность и ценность  сомнительны.

Отметим, что в данной работе авторы изучали 4 группы пациентов: здоровые доноры (контрольная группа); больные с непсихотическими расстройствами; больные с умственной отсталостью; больные с параноидной шизофренией. Между тем авторы  использовали t-критерий Стьюдента, применяя его поочередно для разных пар групп сравнения, что для данного критерия, без использования специальных поправок, недопустимо. В результате такого приема возникает так называемая «ошибка множественных сравнений» (см. {Гланц С. Медико-биологическая статистика. 1999} стр. 113), приводящая к тому, что авторы будут чаще обнаруживать желаемое различие, нежели оно существует на самом деле.  

Данная ошибка является второй по распространенности после использования критерия Стьюдента без проверки двух имеющихся ограничений. И в результате ошибочные выводы вводят в заблуждение не только самих авторов подобных публикаций, но и читателей, на которых к тому же действует магия академических регалий авторов. «Врачам известно множество методов диагностики и лечения, эффективность которых была «доказана» статистическими методами и которые, тем не менее, канули в Лету, не выдержав испытания практикой. ... Вред, приносимый ошибками такого рода, очевиден. Исследователь заявляет о «статистически достоверном» эффекте лечения, редактор помещает статью в журнал, врач, неспособный критически оценить  публикацию, применяет неэффективный метод лечения. В конце это цепи находится больной, который расплачивается за все, подвергаясь ненужному риску и не получая действительно эффективного лечения. Не следует сбрасывать со счетов и ущерб от самого факта проведения бессмысленных исследований. Деньги и подопытные животные приносятся в жертву науке, больные рискуют ради сбора ошибочно интерпретируемых данных» {Гланц С. Медико-биологическая статистика. 1999} стр. 24. Полагаю, что авторам подобных некачественных исследований стоит почаще вспоминать известный принцип «Не навреди»…

О том, сколь значительно могут отличаться значения  t-критерия и достигнутого уровня зна­чимости «р», в случае ошибочного его использования,  можно судить по результатам статистического анализа, проведенного автором этих строк на реальных данных, полученных в отделении ИБС НИИ Кардиологии Томского научного центра РАМН (см. табл. 3).

Условные обозначения к табл.3: Х21 - отношение iR (периода изометрического расслабления) к длительности RR при  пробе с  дипиридамолом (ПД) перед началом лечения

Z9 - толщина межжелудочковой перегородки после лечения, мм

Z14 - конечный систолический объем в покое после лечения, мл

Z15 - ударный объем в покое после лечения, мл

Z16 - фракция выброса в покое после лечения, усл. ед.

А5 - наличие (отсутствие) депрессии сегмента ST при ВЭМ

А6  - наличие (отсутствие) депрессии сегмента ST при пробе ПД

А7 - наличие (отсутствие) обызвествления коронарных артерий

А10 - наличие (отсутствие) нарушений сердечного ритма 

А12 - наличие (отсутствие) нарушений сердечного ритма при пробе ПД.

 

Таблица 3 

Результаты проверки гипотез о равенстве групповых средних различными критериями.

Исследуемая

количественная

Переменная

 

Z9

 

Z15

 

X21

 

Z14

 

Z16

 

X21

 

Z9

Группирующая 

переменная

A5

A7

A5

A12

A7

A10

A6

Значения групповых

средних

10,17

  8,21

141,7

107,9

0,14

0,11

37,4

19,9

0,77

0,72

1,24

1,04

8,10

9,15

Величина t-критерия 

Стьюдента для случая

равных дисперсий

 

2,94

 

1,98

 

2,69

 

1,57

 

2,23

 

2,09

 

1,84

Величина t-критерия

для случая

неравных дисперсий

 

1,76

 

2,54

 

2,03

 

2,93

 

1,85

 

1,73

 

1,77

Величина достигнутого уровня значимости р <  для t-критерия Стьюдента при  равных

дисперсиях

 

 

0,0048

 

 

0,0138

 

 

0,0107

 

 

0,1235

 

 

0,0297

 

 

0,0401

 

 

0,0714

Величина достигнутого

уровня значимости р < для

t-критерия по Саттерзвайту

при неравных дисперсиях

 

 

0,1049

 

 

0,0665

 

 

0,0755

 

 

0,0307

 

 

0,0830

 

 

0,1229

 

 

0,0851

Величина достигнутого

уровня значимости р <  для

t-критерия по   Кохрану-Коксу

при  неравных дисперсиях

 

 

0,1059

 

 

0,0693

 

 

0,0797

 

 

0,0482

 

 

0,0866

 

 

0,1259

 

 

0,0879

Значение F-критерия Фишера

при проверке гипотезы о

равенстве дисперсий

 

9,29

 

2,57

 

2,71

 

4,55

 

2,00

 

1,59

 

5,23

Величина достигнутого

уровня значимости р <  для

F-критерия Фишера при 

проверке гипотезы о равенстве дисперсий

 

 

0,0000

 

 

0,023

 

 

0,055

 

 

0,24

 

 

0,10

 

 

0,30

 

 

0,0000

 

Как видим, для исследованных переменных принятие или отклонение гипотезы о равенстве генеральных средних в группах во многом  определяется  результатом проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий.

Литература

Статья "Поверхностная архитектоника эритроцитов периферической крови у психически больных". Новицкий В.В., Рязанцева Н.В., Семин И.Р.  Сибирский государственный медицинский университет, Томск. НИИ фармакологии Томского научного центра РАМН.  Бюллетень экспериментальной биологии и медицины, вып. 10, 2000, стр. 429-432.

Гланц С. Медико-биологическая статистика. М.: Практика, 1999, 459 с.

Леонов В.П. Когда нельзя, но очень хочется, или Ещё раз о критерии Стьюдента. 2007, Биометрика.


Далее «… не зная законов языка ирокезского, можешь ли ты делать такое суждение по сему предмету…»

Ответ на письмо Леонова В.П. от начальника Управления аттестации научных и научно-педагогических работников Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Н.И. Аристера


Мониторинг качества научных медицинских публикаций


Обращение межрегионального Общества специалистов доказательной медицины в ВАК РФ


СТАТИСТИКА УМЕЕТ МНОГО ГИТИК. С.Е. Бащинский, главный редактор  Международного журнала медицинской практики, 1998; №4, с.13-15.




Отзывы исследователей по статистическому анализу данных


Примеры оформления заказчиками базы данных, описания признаков и целей статистического анализа этой базы данных

Островок  здоровья

Пример 1  Пример 2   Пример 3


Интересная ссылка


В. Леонов. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ ДЛЯ МЕДИКОВ И БИОЛОГОВ. (время и опыт)

Леонов В.П. Ошибки статистического анализа биомедицинских данных. Международный журнал  медицинской практики, 2007, вып. 2, стр.19-35.

В. Леонов. Цели, возможности, и проблемы использования биостатистики в доказательной медицине. Доклад на Конференции по доказательной медицине в Ереване «От доказательной медицины к доказательному здравоохранению» (24 - 26 сентября 2015 года).

Отзывы слушателей семинара по биометрике в Ереване в сентябре 2015 г.


НАУКОМЕТРИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПАРАДИГМЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ БИОМЕДИЦИНЫ   (ПО МАТЕРИАЛАМ ПУБЛИКАЦИЙ). В.П.Леонов. Вестник Томского государственного университета, Серия "Математика. Кибернетика. Информатика", №275. АПРЕЛЬ 2002, стр. 17-24. Cамая читаемая наша статья после отправки более 300 писем авторам статей мед. журналов о наличии в них примитивных и ошибочных методов статистического анализа, и получаемых при этом результатах...

В.П. Леонов.  Камуфляжные мемы инфоценоза научных школ // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. Москва, Изд. Саван С. А., 2007. - с. 212-216.

Очередной отзыв о нашем сотрудничестве Корнеевой Н.В., доцента кафедры факультетской терапии ДВГМУ г. Хабаровск.

ВОЗМОЖНОСТИ БИОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВЗАИМОСВЯЗИ СОМАТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И СИСТЕМАТИКИ ПСИХИЧЕСКИХ РАССТРОЙСТВ.
Н.П.Гарганеева1, В.П.Леонов2. Сибирский государственный медицинский университет1, Томск 
Томский государственный университет2. Сибирский медицинский журнал, № 2, 2001, с.25-32.

Особенности развития органов растений фасоли в условиях освещения и темноты. Л. В. Ивлева, И.Ф. Головацкая, В.П. Леонов.  ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИКИ В СТАТЬЯХ И ДИССЕРТАЦИЯХ ПО МЕДИЦИНЕ И БИОЛОГИИ. ЧАСТЬ III. ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ "АВТОР - РЕДАКЦИЯ - ЧИТАТЕЛЬ".

НАУКОМЕТРИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПАРАДИГМЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ БИОМЕДИЦИНЫ   (ПО МАТЕРИАЛАМ ПУБЛИКАЦИЙ). В.П.Леонов.Cамая читаемая наша статья после отправки в мае м-це с.г. более 300 писем авторам статей мед. журналов о наличии в них примитивных и ошибочных методов статистического анализа, и получаемых при этом результатах...


Чтобы не допускать ошибок в использовании и описании статистики в статьях и диссертациях, следует прочитать материалы представленные в КУНСТКАМЕРЕ - коллекции диссертаций и статей по медицине и биологии, с набором статистических ошибок и нелепостей.

Экспозиция 1  Экспозиция 2  Экспозиция 3  Экспозиция 4  Экспозиция 5  Экспозиция 6 
Экспозиция 7   Экспозиция 8   Экспозиция 9   Экспозиция 10  Экспозиция 11  Экспозиция 12
Экспозиция 13  Экспозиция 14  Экспозиция 15  Экспозиция 16  Экспозиция 17
 


Статистика - это что?
Статистика - нужна зачем?
Статьи читаем - зачем?
Статьи пишем - зачем?

Краткая версия лекции для слушателей-медиков в Ереване, прочитанной в 2014 году по Скайпу.

В. Леонов. «Применение методов статистики в кардиологии (по материалам журнала «Кардиология» за 1993–1995 гг.) Кардиология, 1998, № 1.

В. Леонов. Статистика в кардиологии. 15 лет спустя. 15 лет назад, в 1998 году, в журнале «Кардиология» была опубликована наша статья  «Применение методов статистики в кардиологии (по материалам журнала «Кардиология» за 1993–1995 гг.) В ней были проанализированы 426 статей кардиологической тематики. В новом обзоре проаналированы современные журнальные статьи кардиологической тематики. Учитывая то, что  в настоящее время в России смертность от сердечно-сосудистых заболеваний более чем в 4 раза выше, чем в Европе, США и Японии, актуальной задачей является оценка эффективности использования статистики в российской кардиологии. Журнал "Медицинские технологии. Оценка и выбор", 2014, №1, с. 17-28.  (Весь обзор одним файлом)

ВАК для учёных? или ВАК для… бумагомарак? «ТРОИЦКИЙ ВАРИАНТ» № 8 (127), 2013 год. К середине 2017 года статью прочитали более 50 тысяч читателей. 
"Плагиат, обнаруживаемый в диссертациях, это «пена» диссертационного бизнеса. Поскольку в производстве диссертаций «под заказ» гораздо легче просто копировать фрагменты одних диссертаций, вставляя их в очередные заказные диссертации. Производители такого «товара» фабрикуют не только диссертации, но и массу журнальных статей. Основные причины появления этого бизнеса описал профессор Е.В. Балацкий ещё в 2005 г. [1-2], изложив и сценарии его ликвидации. Одной из ключевых причин рождения этого бизнеса являются изменения в Положениях ВАК".

Сравниваем средние, а также и ... В. Леонов. Показано, что не нормальное распределение количественного признака, означает наличие взаимосвязей данного признака с другими признаками.


В. Леонов.   Проценты - статистический анализ? Или проценты - арифметический анализ?

Мотивом к написанию данной статьи стал следующий инцидент. 11 апреля 2016 г. я получил вот какое письмо...

P.S. Сайт дополнен PDF-файлом полной версии данной статьи.


ОТВЕТ ВАК РФ 

Отклики читателей


1997 - 2020.© Василий Леонов. E-mail:

Доказательная или сомнительная? Медицинская наука Кузбасса: статистические аспекты.

Возврат в КУНСТКАМЕРУ